Глава 10 - МЕЖВРЕМЕННОЙ ВЫБОР

 

 

В этой главе мы продолжаем изучение поведения потребителя, рассматривая выбор, связанный с осуществлением сбережений и распределением потребления во времени. Выбор распределения потребления во времени известен как межвременной выбор.

 

10.1 Бюджетное ограничение

 

Представим себе потребителя, который решает, сколько данного товара потребить в каждом из двух временных периодов. Мы, как правило, будем считать такой товар композитным товаром, подобным описанному в главе 2, но можно, если хотите, считать его и конкретным товаром. Обозначим величину потребления в каждом периоде через () и предположим, что цены потребления в каждом периоде постоянны и равны 1. Сумму денег, имеющуюся у потребителя в каждом периоде, обозначим через ().

Вначале предположим, что единственный способ, которым потребитель может перевести деньги из периода 1 в период 2, - это сбережение денег без получения процента. Более того, пока предположим, что у него нет возможности занимать деньги, так что максимальная сумма, которую он может истратить в периоде 1, есть . Тогда его бюджетное ограничение будет иметь такой же вид, как на рис.10.1.

 

Рис.10.1 Бюджетное ограничение. Это - бюджетное ограничение для случая, когда ставка процента равна нулю и брать деньги взаймы не разрешается. Чем меньше потребит данный индивид в период 1, тем больше он может потребить в период 2.

 

Мы видим, что у потребителя имеется выбор двоякого рода. Он может предпочесть потреблять в точке (), что означает просто потребление своего дохода в каждом периоде, или же может предпочесть потребить в периоде 1 не весь свой доход. В этом последнем случае потребитель откладывает часть потребления первого периода на более позднее время.

Теперь позволим потребителю брать  и давать взаймы по некой ставке процента r. Сохраняя для удобства цены потребления в каждом периоде на уровне 1, выведем уравнение бюджетного ограничения. Сперва допустим, что потребитель решает делать сбережения, так что величина его потребления в первом периоде, , меньше дохода первого периода, . В этом случае он заработает процент на сберегаемую им сумму, , исходя из ставки процента r. Сумма, которую он может израсходовать на потребление в следующем периоде, задана выражением

    

   

           

 

 

Оно говорит нам, что в периоде 2 потребитель может истратить на потребление сумму, равную его доходу плюс сумма сбережений, сделанных в период 1, плюс процент, заработанный на эти сбережения.

Предположим теперь, что потребитель является заемщиком, так что его потребление в первом периоде превышает его доход первого периода. Потребитель выступаетт заемщиком, если , и процент, который ему придется платить во втором периоде, составит . Разумеется, ему придется также вернуть и взятую взаймы сумму, . Это означает, что его бюджетное ограничение задано уравнением

        

       ,

 

что в точности совпадает с уравнением, записанным нами ранее. Если величина  положительна, то потребитель зарабатывает процент на эти сбережения; если же величина  отрицательна, потребитель платит процент на взятую взаймы сумму.

Если , то с необходимостью и , и потребитель не является ни заемщиком, ни кредитором. Мы можем назвать эту потребительскую позицию "точкой Полония". 

 

Можно преобразовать уравнение бюджетного ограничения для данного потребителя, получив  два полезных альтернативных вида этого уравнения:

 

 

и

 

 

Обратите внимание на то, что оба уравнения имеют форму

 

      .

 

В уравнении (10.2)  и . В уравнении (10.3)  и .

Мы говорим, что уравнение (10.2) выражает бюджетное ограничение через будущую стоимость, а уравнение (10.3) выражает бюджетное ограничение через текущую стоимость. Выбор данной терминологии объясняется тем, что в первом бюджетном ограничении цена будущего потребления равна 1, в то время как во втором бюджетном ограничении цена текущего потребления равна 1. В первом уравнении бюджетного ограничения цена потребления первого периода измерена относительно цены потребления второго периода, а во втором уравнении - наоборот.

Геометрическая интерпретация текущей и будущей стоимости дана на рис.10.2. Текущая стоимость начального запаса денег в двух периодах есть сумма денег в периоде 1, которая породила бы то же самое бюджетное множество, что и начальный запас денег. Эта сумма, показанная просто точкой пересечения бюджетной линии с горизонтальной осью, дает максимально возможную в первом периоде величину потребления. Как показывает бюджетное ограничение, эта сумма есть , что составляет текущую стоимость начального запаса.

 

Рис.10.2 Текущая и будущая стоимости. Точка пересечения бюджетной линии с вертикальной осью показывает будущую стоимость, а точка ее пересечения с горизонтальной осью - текущую стоимость.

 

Аналогичным образом, точка пересечения бюджетной линии с вертикальной осью показывает максимальную сумму, расходуемую на потребление во втором периоде, которая соответствует . И опять из уравнения бюджетного ограничения мы можем найти эту величину , представляющую собой будущую стоимость начального запаса.

Выражение межвременного бюджетного ограничения через текущую стоимость имеет большее значение, поскольку с его помощью измеряется текущая стоимость будущего дохода, что соответствует обычному взгляду на эти сопоставления.

Любое из этих уравнений показывает нам вид данного бюджетного ограничения. Бюджетная линия проходит через точку (), поскольку эта структура потребления всегда является доступной, и имеет наклон -(1+r).

 

10.2 Предпочтения в отношении потребления

 

Теперь перейдем к рассмотрению предпочтений потребителя, представленных

его кривыми безразличия. Форма кривых безразличия указывает на вкусы потребитетля в разные периоды времени. Если бы, например, мы нарисовали кривые безразличия с постоянным наклоном -1, то они представляли бы вкусы потребителя, которому безразлично, потреблять сегодня или завтра. Предельная норма замещения завтрашнего потребления сегодняшним равна -1.

Если бы мы нарисовали кривые безразличия для совершенных комплементов, это означало бы, что и сегодня, и завтра потребитель хочет потреблять в равных количествах. Такой потребитель не склонен замещать потребление в одном периоде потреблением в другом, независимо от того, во что это ему обойдется.

Как обычно, более разумной ситуацией оказывается промежуточный случай стандартных предпочтений. Потребитель готов заместить некоторое количество завтрашнего потребления сегодняшним, и то, сколько именно потребления он готов заместить, зависит от конкретной структуры его потребления.

В этом контексте выпуклость предпочтений оказывается вполне естественной, поскольку она говорит о том, что потребитель предпочел бы скорее иметь "средний" уровень потребления в каждом периоде, нежели потреблять очень много сегодня и ничего завтра и наоборот.

 

10.3 Сравнительная статика

 

Если заданы бюджетное ограничение потребителя и его предпочтения в отношении потребления в каждом из двух периодов, то можно исследовать оптимальный потребительский выбор (). Если потребитель выбирает точку, в которой , мы говорим, что он является кредитором, а если он выбирает точку, в которой , то мы говорим, что он является заемщиком. На рис.10.3A мы изобразили случай, когда потребитель выступает заемщиком, а на рис. 10.3B - случай, когда он выступает кредитором.

 

Рис.10.3 Заемщик и кредитор. На рис. A изображен график для заемщика, поскольку , а на рис. B - график для кредитора, поскольку .

 

Теперь рассмотрим то, как потребитель будет реагировать на изменение процентной ставки. Из уравнения(10.1) мы видим, что возрастание ставки процента должно делать бюджетную линию круче: при данном сокращении  ваше потребление во втором периоде будет  больше, если процентная ставка будет выше. Разумеется, потребление в размере начального запаса всегда остается доступным, так что увеличение наклона бюджетной линии, в действительности, есть ее поворот вокруг точки начального запаса.

Можно также сказать кое-что и по поводу влияния изменения процентной ставки на выбор потребителя в отношении того, быть ему заемщиком или кредитором. Возможны два случая, в зависимости от того, выступает ли потребитель первоначально заемщиком или кредитором. Сначала предположим, что он - кредитор. Тогда оказывается, что если процентная ставка растет, потребитель должен оставаться кредитором.  

Аргументация в пользу этого проиллюстрирована рисунком 10.4. Если первоначально потребитель выступает кредитором, то его потребительский набор находится слева от точки начального запаса. Пусть теперь ставка процента растет. Может ли потребитель переместиться в новую точку потребления вправо от точки начального запаса?

Нет, потому что это означало бы нарушение принципа выявленных предпочтений: наборы, находящиеся справа от точки начального запаса, были доступны потребителю, когда он производил выбор из исходного бюджетного множества, и были им отвергнуты в пользу выбранного набора. Поскольку исходный оптимальный набор при новой бюджетной линии остается доступным, новый оптимальный набор должен находиться в точке, лежащей вне старого бюджетного множества, - а это означает, что он должен находиться слева от точки начального запаса. При росте процентной ставки потребитель должен оставаться кредитором.

Аналогичный эффект наблюдается и для заемщиков: если потребитель первоначально выступает заемщиком и процентная ставка снижается, потребитель останется заемщиком. (Вы можете нарисовать график, подобный рис. 10.4, и попробовать самостоятельно выстроить соответствующую аргументацию.)

Таким образом, если индивид является кредитором и процентная ставка растет, он останется кредитором. Если индивид - заемщик и процентная ставка убывает, он останется заемщиком. С другой стороны, если индивид - кредитор и процентная ставка снижается, он вполне может принять решение стать заемщиком; подобным же образом, рост процентной ставки может побудить заемщика превратиться в кредитора. Об этих двух последних случаях выявленные предпочтения ничего нам не говорят.

Выявленные предпочтения могут быть использованы также для вынесения суждений об изменении благосостояния потребителя с изменением процентной ставки. Если первоначально потребитель выступает заемщиком и процентная ставка повышается, но он решает остаться заемщиком, то при новой процентной ставке его благосостояние должно понизиться. Эти рассуждения проиллюстрированы рис. 10.5; если потребитель остается заемщиком, он должен действовать в точке, которая при старом бюджетном множестве была доступна, но отвергнута, а это подразумевает, что его благосостояние должно упасть.         

       

10.4 Уравнение Слуцкого и межвременной выбор

 

Уравнение Слуцкого можно использовать для разложения изменения спроса, вызванного изменением процентной ставки, на эффекты дохода и эффект замещения, подобно тому, как это было сделано в главе 9. Допустим, что процентная ставка растет. Как это повлияет на потребление в каждом периоде?

Данный случай легче проанализировать, используя бюджетное ограничение, выраженное не через текущую стоимость, а через будущую стоимость. С позиций бюджетного ограничения, выраженного через будущую стоимость, повышение процентной ставки - то же самое, что повышение цены сегодняшнего потребления по сравнению с ценой завтрашнего потребления. Выписав уравнение Слуцкого, получаем

 

     

       (?)   (-)         (?)       (+)

    

 

Рис. 10.4 Если данный индивид является кредитором и процентная ставка растет, то он останется кредитором. Повышение процентной ставки вызывает поворот бюджетной линии вокруг точки начального запаса, делающий ее более крутой; из концепции выявленных предпочтений следует, что новый потребительский набор должен лежать слева от точки начального запаса.

 

Действие эффекта замещения, как всегда, направлено в сторону, противоположную изменению цены. В данном случае цена потребления в период 1 растет, следовательно, эффект замещения говорит нам о том, что в первом периоде потребитель должен потреблять меньше. В этом заключается смысл знака "минус", стоящего под эффектом замещения. Допустим, что потребление в рассматриваемом периоде есть нормальный товар, так что самый последний член - изменение потребления с изменением дохода - будет величиной положительной. Записываем под последним членом знак "плюс". Теперь знак всего выражения будет зависеть от знака (). Если рассматриваемое лицо - заемщик, этот член будет величиной отрицательной и поэтому выражение в целом, несомненно, будет отрицательным - для заемщика рост процентной ставки должен уменьшать сегодняшнее потребление.

Почему это происходит? В случае повышения процентной ставки всегда действует эффект замещения, вызывающий уменьшение сегодняшнего потребления. Для заемщика повышение процентной ставки означает, что завтра ему придется платить более высокий процент. Это побуждает его меньше занимать и, тем самым, меньше потреблять в первом периоде.

Для кредитора рассматриваемый эффект неоднозначен. Общий эффект есть сумма отрицательного эффекта замещения и положительного эффекта дохода. С точки зрения кредитора, рост процентной ставки может принести ему такой большой дополнительный дохода, что он захочет даже увеличить свое потребление в первом периоде.

 

Рис. 10.5 Благосостояние заемщика с ростом процентной ставки понижается. Когда процентная ставка для заемщика повышается и данный потребитель решает остаться заемщиком, его благосостояние, безусловно, снижается.

 

Последствия изменения процентных ставок не так уж загадочны. Как и при любом другом изменении цены, в этом случае действуют эффект дохода и эффект замещения. Однако, без такого инструмента анализа, как уравнение Слуцкого, позвляющего обособить различные эффекты, соответствующие изменения распутать трудно. С помощью же этого инструмента вычленение указанных эффектов производится достаточно просто.

 

10.5 Инфляция

 

Выше мы провели анализ с позиций некоего общего товара, именуемого "потреблением". Отказ от  единиц потребления сегодня позволяет вам купить  единиц потребления завтра. В этом анализе молчаливо заложена предпосылка о том, что "цена" потребления не меняется - инфляция или дефляция отсутствует.

Однако, нетрудно изменить данный анализ, сделав его пригодным для рассмотрения случая инфляции. Предположим, что теперь цена товара "потребление" в каждом периоде различна. Удобно принять сегодняшнюю цену потребления за 1 и обозначить завтрашнюю цену потребления через . Удобно также считать, что начальный запас тоже измеряется в единицах потребления товаров, так что выраженная в деньгах стоимость начального запаса в периоде 2 равна . Тогда сумма денег, которую потребитель может истратить во втором периоде, задана выражением

   

    ,

 

а величина потребления, доступная потребителю во втором периоде, есть

 

    .

 

Обратите внимание на то, что это уравнение очень похоже на уравнение, приведенное ранее,  - мы только используем не 1+r, а .

Выразим это бюджетное ограничение через темп развития инфляции. Темп развития инфляции, , - это не что иное, как темп роста цен. Вспомнив, что , мы получаем

          ,

 

что дает нам

 

         .

 

Введем новую переменную , реальную ставку процента, и определим ее как

 

       ,

 

так что бюджетное ограничение принимает вид

 

    .

 

Единица плюс реальная ставка процента показывают, сколько дополнительного потребления вы можете приобрести в период 2, если откажетесь от какой-то части потребления в период 1. Именно поэтому речь идет о реальной ставке процента: она говорит о том, сколько вы можете получить дополнительного потребления, а не дополнительных долларов.

Ставка процента на доллары называется номинальной ставкой процента. Как мы видели выше, взаимосвязь между двумя указанными ставками процента дана формулой

 

     .

 

Чтобы получить точное выражение для , запишем это уравнение как

 

   .

 

Это - точное выражение для реальной ставки процента, но обычно принято использовать его приближенный вариант. Если темп инфляции не слишком велик, то знаменатель данной дроби будет лишь чуть-чуть больше 1. Поэтому реальная ставка процента будет приближенно задана формулой

         ,

 

говорящей о том, что реальная ставка процента - это просто номинальная ставка процента минус темп инфляции. (Знак  означает "примерно равен"). Это совершенно разумно: если ставка процента равна 18 процентам, но цены растут с темпом в 10 процентов, то реальная ставка процента - то дополнительное потребление, которое вы можете приобрести в следующем периоде, если откажетесь от какого-то количества потребления сейчас - составит примерно 8 процентов.

Конечно, составляя планы потребления, мы всегда смотрим в будущее. Как правило, мы знаем номинальную ставку процента для следующего периода, но темп инфляции для него неизвестен. Реальную ставку процента обычно принимают равной текущей процентной ставке за вычетом ожидаемого темпа инфляции. В той мере, в какой различаются оценки людей в отношении ожидаемого в следующем году темпа инфляции, различаются и их оценки в отношении реальной ставки процента. Если удается достаточно точно предсказать темп развития инфляции, эти различия могут быть не слишком велики.

 

10.6 Текущая стоимость: более пристальный взгляд

 

Вернемся теперь к двум видам  бюджетного ограничения, описанным ранее в параграфе 10.1 уравнениями (10.2) и (10.3):

 

       

и

 

      .

 

Рассмотрим лишь правые части этих двух уравнений. Как мы уже говорили, правая часть первого уравнения выражает стоимость начального запаса через будущую стоимость, а правая часть второго уравнения выражает ее через текущую стоимость.

Обратимся вначале к изучению понятия будущей стоимости. Если мы можем брать и давать взаймы по ставке процента r, то каков будущий эквивалент сегодняшнего доллара? Ответ: (1+r) долларов. То есть, 1 доллар сегодня может быть превращен в (1+r) долларов в следующем периоде просто путем предоставления его взаймы банку по ставке процента r. Другими словами, (1+r) долларов в следующем периоде эквивалентны 1 доллару сегодня, поскольку именно столько вам пришлось бы заплатить в следующем периоде, чтобы купить - то есть, занять - 1 доллар сегодня. Величина (1+r) -это как раз цена 1 сегодняшнего доллара относительно 1 доллара следующего периода. Это сразу видно из первого бюджетного ограничения: оно выражено в будущих долларах -  цена долларов второго периода равна 1, а доллары первого периода измерены относительно них.

А что можно сказать по поводу текущей стоимости? Здесь все обстоит как раз наоборот: все измеряется в сегодняшних долларах. Сколько стоит доллар следующего периода, если его выразить в сегодняшних долларах? Ответ: 1/(1+r). Это - потому, что можно превратить 1/(1+r) долларов в 1 доллар в следующем периоде, просто сберегая его при ставке процента r. Текущая стоимость  доллара, полученного в следующем периоде, равна 1/(1+r).

Понятие текущей стоимости позволяет нам по-другому выразить бюджетное ограничение  для задачи на выбор потребления в двух периодах: план потребления доступен, если текущая стоимость потребления равна текущей стоимости дохода.

Идея текущей стоимости имеет важное следствие, тесно связанное с моментом, рассмотренным в главе 9: если потребитель может свободно покупать и продавать товары по постоянным ценам, то он всегда предпочтет начальный запас большей стоимости начальному запасу меньшей стоимости. В случае принятия межвременных решений этот принцип подразумевает, что если потребитель может свободно брать и давать взаймы по постоянной ставке процента r, то потребитель всегда предпочтет структуру дохода с более высокой текущей стоимостью структуре дохода с более низкой текущей стоимостью.

Это справедливо по той же самой причине, по которой справедливо было утверждение, сделанное в главе 9: начальному запасу с более высокой стоимостью соответствует  бюджетная линия, более выдвинутая наружу. Новое бюджетное множество содержит старое, а это означает, что перед потребителем открываются и те возможности потребления, которые он имел в случае старого бюджетного множества, и какие-то дополнительные возможности.  Как иногда говорят экономисты, начальный запас с более высокой текущей стоимостью доминирует над начальным запасом с меньшей текущей стоимостью в том смысле, что, продав начальный запас с большей текущей стоимостью, потребитель может иметь большее потребление в каждом периоде, чем то, которое он имел бы, продав начальный запас с меньшей текущей стоимостью.

Разумеется, если текущая стоимость одного начального запаса выше текущей стоимости другого, то и будущая стоимость первого также будет выше будущей стоимости второго. Однако, оказывается, что текущая стоимость представляет собой более удобный способ измерения покупательной способности начального запаса денег с учетом фактора времени и поэтому именно этому способу измерения мы уделим наибольшее внимание.

 

10.7 Анализ текущей стоимости для нескольких периодов

 

Рассмотрим модель для трех периодов. Предположим, что в каждом периоде мы можем брать и давать деньги взаймы по ставке процента r и что эта ставка процента останется постоянной на протяжении всех трех периодов. Следовательно, цена потребления периода 2, будучи выражена в потреблении периода 1, составит 1/(1+r),  - в точности, как и раньше.

Какова будет цена потребления периода 3? Что ж, если я инвестирую сегодня 1 доллар, он превратится в следующем периоде в (1+r) долларов; а если я оставлю эти деньги в виде инвестиций, то к тертьему периоду они превратятся в . Значит, если сегодня я инвестирую , то в периоде 3 я смогу превратить эту сумму в 1 доллар. Цена потребления третьего периода, взятая по отношению к цене потребления первого периода, составляет, следовательно, . Каждый дополнительный доллар потребления в период 3 обходится мне сегодня в  долларов. Это означает, что  бюджетное ограничение  будет иметь вид:

 

  .

 

Оно ничем не отличается от бюджетных ограничений, которые мы видели раньше,  если считать, что цена потребления периода t, выраженная через сегодняшнее потребление, задается выражением

 

          .

 

Как и раньше, при заданных ценах потребитель предпочтет перейти к начальному запасу с более высокой текущей стоимостью, так как такое изменение с необходимостью повлечет за собой выдвижение бюджетного множества наружу.

Это бюджетное ограничение выведено нами при предпосылке о постоянных ставках процента, но его нетрудно обобщить до случая с изменяющимися ставками процента. Допустим, например, что процент , приносимый сбережениями с периода 1 до периода 2 составляет , в то время как сбережения с периода 2 по период 3 приносят процент . Тогда 1 доллар в период 1 вырастет до  долларов в период 3. Текущая стоимость 1 доллара периода 3 равна, следовательно,  долларам. Это означает, что корректный вид бюджетного ограничения будет следующим:

 

.

 

С данным выражением дело иметь не так уж трудно, но мы, как правило, будем довольствоваться изучением случая постоянных ставок процента.

В таблице 10.1 содержатся некоторые примеры значений текущей стоимости 1 доллара, полученного через T лет в будущем, при различных ставках процента. Примечательным в этой таблице являетяс то, насколько быстро снижается текущая стоимость для "разумных" ставок процента. Например, при ставке в 10 процентов текущая стоимость 1 доллара, полученного через 20 лет, равна лишь 15 центам.

 

10.8  Применение текущей стоимости

 

Начнем с формулирования важного общего принципа: использование текущей стоимости есть единственно правильный способ превращения потока платтеежй в сегодняшние доллары. Этот принцип вытекает непосредственно из определения текущей стоимости: текущая стоимость измеряет стоимость начального запаса денег потребителя. До тех пор, пока потребитель может свободно брать и давать деньги взаймы по постоянной ставке процента, начальный запас с более высокой текущей стоимостью всегда может вызвать в каждом периоде больше потребления, чем начальный запас с более низкой текущей стоимостью. Независимо от ваших вкусов в отношении потребления в различных периодах, вы всегда должны будете предпочесть поток денег с более высокой текущей стоимостью потоку денег с более низкой текущей стоимостью - так как это всегда даст вам больше возможностей для потребления в каждом периоде.

Это рассуждение иллюстрируется рис. 10.6. На этом рисунке () есть потребительский набор, худший, чем набор исходного начального запаса потребителя, (), поскольку он лежит под кривой безразличия, проходящей через точку начального запаса. Тем не менее, потребитель предпочел бы набор () набору (), если бы имел возможность брать и давать взаймы по ставке процента r. Это верно потому, что, имея набор начального запаса (), он может себе позволить потреблять  такой набор, как (), который, несомненно, лучше, чем его текущий потребительский набор.

 

Таблица 10.1 Текущая стоимость одного доллара, полученного через t лет в будущем                                                

Ставка	1	2	5	10	15	20	25	30
0,05	0,95	0,91	0,78	0,61	0,48	0,37	0,30	0,23
0,10	0,91	0,83	0,62	0,39	0,24	0,15	0,09	0,06
0,15	0,87	0,76	0,50	0,25	0,12	0,06	0,03	0,02
0,20	0,83	0,69	0,40	0,16	0,06	0,03	0,01	0,00

 

Одно из очень полезных применений текущей стоимости заключается в определении стоимости потоков дохода, приносимых инвестициями различного вида. Если вы хотите сравнить два различных вида инвестиций, приносящих разные потоки платежей, с целью выяснения, который из них лучше, то вы просто исчисляете две текущих стоимости и выбираете большую. Вложение с большей текущей стоимостью всегда дает вам больше возможностей для потребления.

Иногда возникает необходимость приобретения потока дохода путем осуществления выплат с течением времени. Например, можно купить квартиру, заняв деньги в банке и производя платежи по закладной в течение ряда лет. Предположим, что поток дохода () можно купить, производя поток платежей ().

В этом случае можно дать оценку рассматриваемого вложения капитала, сравнив текущую стоимость потока доходов с текущей стоимостью потока платежей. Если

 

 

 

текущая стоимость потока доходов превышает текущую стоимость издержек на их получение,  это - хорошее вложение капитала - оно увеличит текущую стоимость начального запаса.

 

Рис. 10.6 Более высокая текущая стоимость. Начальный запас с более высокой текущей стоимостью дает потребителю больше возможностей потребления в каждом периоде, если потребитель может брать и давать взаймы по рыночным ставкам процента.

 

Эквивалентным способом оценки капиталовложений является использование идеи чистой текущей стоимости. Чтобы подсчитать эту величину, мы рассчитываем чистый поток денежной наличности в каждом периоде, а затем дисконтируем этот поток, приводя его к настоящему моменту. В рассматриваемом примере чистый поток наличности составляет (), а чистая текущая стоимость есть

 

      .

 

Сравнивая это выражение с уравнением (10.4), мы видим, что данное вложение капитала имеет смысл сделать только, и только в том случае, если величина чистой текущей стоимости положительна.

Подсчет чистой текущей стоимости очень удобен, поскольку он позволяет нам в каждом периоде складывать все положительные и отрицательные потоки денежной наличности и затем дисконтировать полученный в результате этого сложения поток наличности.

 

ПРИМЕР: Определение текущей стоимости потока платежей

 

Предположим, что перед нами два варианта вложений капитала, A и B. Вложение A приносит 100$ сейчас и еще 200$ в будущем году. Вложение B приносит 80$ сейчас и 310$ в будущем году. Какое вложение капитала лучше?

Ответ зависит от ставки процента. Если ставка процента равна нулю, ответ ясен - достаточно сложить инвестиции. Ведь если процентная ставка равна нулю, то расчет текущей стоимости сводится к суммированию платежей.

При нулевой ставке процента текущая стоимость вложения A есть

 

    ,

 

а текущая стоимость вложения B есть

 

,

 

поэтому следует предпочесть вложение A.

Однако, при достаточно высокой ставке процента мы получим противоположный ответ. Допустим, например, что эта ставка равна 20 процентам. Тогда расчет  текущей стоимости принимает вид

 

    

 

   .

 

Теперь лучшим вложением оказывается A. Тот факт, что вложение A позволяет вернуть больше денег раньше, означает, что при достаточно большой ставке процента текущая стоимость этого вложения будет выше.

 

ПРИМЕР: Истинная стоимость кредитной карточки

 

Заем денег с помощью кредитной карточки - дело дорогостоящее: многие компании называют годичные процентные начисления в размере от 15 до 21 процента. Однако, из-за способа, которым эти финансовые начисления подсчитываются, реальные ставки процента оказываются много выше названных.

Предположим, что владелец кредитной карточки дебетует покупку на сумму в 2000$ в первый день месяца и что финансовое начисление составляет 1,5 процента в месяц. Если к концу месяца потребитель выплачивает сальдо целиком, то он не должен выплачивать финансовое начисление. Если же потребитель не выплачивает ни цента из суммы в 2000$, ему придется выплатить в начале следующего месяца финансовое начисление в размере . 

Что произойдет, если потребитель выплатит 1800$ против сальдо в 2000$ в последний день месяца? В этом случае потребитель занял только 200$, так что финансовое начисление должно бы составить 3$. Однако, многие компании, занимающиеся кредитными карточками, начисляют потребителям гороздо большие суммы. Причина состоит в том, что многие компании основывают свои начисления на "среднемесячном сальдо", невзирая на то, что часть этого сальдо выплачивается к концу месяца. В нашем примере среднемесячное сальдо составило бы около 2000$ (30 дней с 2000-долларовым сальдо и 1 день с 200-долларовым сальдо). Таким образом, финансовое начисление было бы чуть меньше 30$, несмотря на то, что потребитель занял лишь 200$. Если основываться на фактически взятой взаймы сумме денег, то такое начисление соответствует процентной ставке в размере 15 процентов в месяц!

 

10.9 Облигации

 

Ценные бумаги - это финансовые инструменты, обещающие выплаты дохода в соответствии сопределенной структурой шкал выплат. Существует много разновидностей финансовых инструментов, поскольку пожелания людей в отношении этих шкал выплат разнообразны. Финансовые рынки дают людям возможность производить обмен во времени потоков денежной наличности различной структуры. Эти потоки денежной наличности, как правило, используются для финансирования потребления в тот или иной момент времени.

Здесь мы рассмотрим такой конкретный вид ценных бумаг, как облигации. Облигации выпускаются правительствами и корпорациями. В основе своей, они представляют собой способ займа денег. Заемщик - агент, выпускающий облигацию, - обещает выплачивать установленную сумму долларов x (купон) в течение каждого периода вплоть до определенной даты T (даты погашения облигации), по наступлении которой заемщик обязуется выплатить держателю облигации сумму F (номинал).

Таким образом, поток выплат по облигации имеет вид (x,x,x,...,F). Если ставка процента постоянна, то текущую дисконтированную стоимость такой облигации подсчитать нетрудно. Она задана формулой

 

  .

 

Обратите внимание на то, что с ростом ставки процента текущая стоимость облигации будет понижаться. Почему это так? Когда ставка процента повышается, сегодняшняя цена 1 доллара, выплачиваемого в будущем, падает. Поэтому будущие выплаты по облигации сегодня стоят меньше.

 

Существует большой и развитый рынок облигаций. Рыночная стоимость выпущенных облигаций колеблется по мере колебаний ставки процента, так как при этом меняется текущая стоимость потока выплат по облигации.

Интересной разновидностью облигаций являются облигации, выплаты по которым производятся в течение неограниченно долгого времени. Их называют консолями, или пожизненной рентой. Предположим, что речь идет о консоли, которая должна ежегодно и бессрочно приносить x долларов. Чтобы подсчитать текущую стоимость этой консоли, мы должны подсчитать бесконечную сумму:

 

       .

 

Хитрость при подсчете этой суммы заключается в том, что надо выделить 1/(1+r), чтобы получить

 

     .

 

Но член в скобках есть не что иное, как x плюс текущая стоимость! Совершив подстановку и выразив PV, получаем:

 

     .

 

Сделать это было нетрудно, но имеется легкий способ получить ответ сразу. Сколько денег, V,  вам потребовалось бы, чтобы при ставке процента r всегда получать x долларов? Просто запишите уравнение

 

         Vr=x,

 

говорящее о том, что процент на V должен равняться x. Но тогда текущая стоимость такого вложения задана формулой

 

        .

 

Таким образом, оказывается, что текущая стоимость консоли, обещающей бесконечно долго приносить x долларов, должна равняться x/r.

В случае консоли нетрудно увидеть непосредственно, каким образом воозрастание ставки процента сокращает текущую стоимость облигации. Допустим, например, что консоль выпускается, когда ставка процента равна 10 процентам. Тогда, если консоль должна ежегодно и бессрочно приносить 10$, сегодня она будет стоить 100$, поскольку именно 100$ принесут ежегодно 10$ процентного дохода.

Предположим теперь, что ставка процента возрастает до 20 процентов. Стоимость консоли должна упасть до 50$, так как теперь теперь, при ставке в 20 процентов, потребуется лишь 50$, чтобы ежегодно зарабатывать 10$.

Формулу, выведенную для консоли, можно применять для подсчета приблизительной стоимости долгосрочной облигации. Если, например, ставка процента равна 10 процентам, стоимость 1 доллара, полученного через 30 лет, сегодня составит лишь 6 центов. Для уровня процентных ставок, с которым мы обычно сталкиваемся, 30 лет можно вполне считать бесконечностью .

 

ПРИМЕР: Ссуды с погашением в рассрочку

 

Предположим, что вы берете взаймы 1000$, которые обещаете вернуть посредством 12 ежемесячных выплат по 100$ каждая. Какую ставку процента вы платите?

На первый взгляд, кажется, что ваша процентная ставка составляет 20 процентов: вы взяли взаймы 1000$ и возвращаете 1200$. Но этот анализ некорректен. Ведь реально вы не занимали 1000$ на целый год. Вы заняли 1000$ на месяц, а потом вернули 100$. Затем вы заняли 900$ и должны выплатить месячный процент только на 900$. Вы занимаете их на месяц, а затем возвращаете еще 100$. И так далее.

Поток платежей, стоимость которого мы хотим подсчитать, есть

     

   (1000,-100,-100,...,-100).

С помощью калькулятора или компьютера можно найти процентную ставку, при которой

текущая стоимость данного потока платежей будет равна нулю. Фактическая ставка процента, который вы платите по ссуде с погашением в рассрочку, составляет около 35 процентов!

 

10.10 Налоги

 

В Соединенных Штатах процентные платежи облагаются как обычный доход. Это означает, что вы платите на процентный доход такой же налог, что и на трудовой доход. Предположим, что вы относитесь к категории налогоплательщиков, для которых предельная налоговая ставка равна t, так что каждый дополнительный доллар дохода,, увеличивает сумму, которую вы должны выплатить в виде налогов, на . Тогда, инвестируя в какой-либо актив X долларов, вы получите процентный платеж в размере rX. Но вам также придется заплатить на этот доход налоги в размере trX, в результате чего ваш доход после выплаты налога составит всего (1-t)rX долларов. Мы называем ставку процента (1-t)r ставкой процента после выплаты налога.

Что, если вы решите взять взаймы X долларов, а не дать их взаймы? Тогда вам придется заплатить в виде процентов rX. В Соединенных Штатах некоторые процентные платежи подлежат налогообложению, а некоторые - нет. Например, процентные платежи по закладным облагаются налогом, а процентные платежи по обычным ссудам на потребительские цели - нет. С другой стороны, компании могут удерживать большую часть производимых ими процентных платежей.

Если конкретный процентный платеж подлежит налогообложению, вы можете вычесть этот процентный платеж из остального своего дохода и платить налог лишь на ту сумму, которая осталась. Следовательно, rX долларов, которые вы платите в качестве процента, уменьшат ваши процентные платежи на trX. Общая стоимость X долларов, взятых вами взаймы, составит rX-trX=(1-t)rX. Таким образом, для людей, принадлежащих к одной категории налогоплательщиков, процентная ставка после выплаты налога оказывается одинаковой, независимо от того, являются они заемщиками или кредиторами. Налог на сбережения сократит сумму денег, которую люди хотят сберегать, однако, субсидия по ссудам увеличит сумму денег, которую люди хотят занимать.

 

ПРИМЕР: Стипендии и сбережения

             

В Соединенных Штатах многие студенты получают ту или иную форму финансовой поддержки, позволяющую покрыть издержки на обучение в колледже. Сумма финансовой помощи студенту зависит от многих факторов, но одним из важных факторов является способность семьи оплачивать расходы на колледж. В большинстве колледжей и университетов США используется стандартный показатель способности осуществлять такую оплату, рассчитываемый Советом по Вступительным Экзаменам в Колледж (СВЭК).

Если студент хочет обратиться за финансовой помощью, его семья должна заполнить анкету, характеризующую ее финансовые обстоятельства. СВЭК использует информацию о доходе и активах родителей для построения показателя "скорректированного располагаемого дохода". Доля скорректированного располагаемого дохода, вложения которой ожидают от родителей, варьирует, в зависимости от доходо, от 22 до 47 процентов. В 1985 году от родителей с совокупным доходом до налогообложения в размере около 35000$ ожидались вложения в образование детей в колледжах в размере около 7000$.

Каждый дополнительный доллар активов, накопленных родителями, увеличивает их ожидаемый вклад и уменьшает сумму финансовой помощи, на получение которой могут рассчитывать их дети. Формула, применяемая СВЭК, фактически облагает налогом тех родителей, которые откладывают деньги на образование своих детей в колледже. Мартин Фелдстейн, президент Национального Бюро Экономических Исследований (НБЭИ) и профессор экономики в Гарвардском университете, подсчитал величину этого налога.

Рассмотрим положение неких родителей, размышляющих о том, стоит ли сберечь дополнительный доллар, как раз в тот момент, когда их дочь поступает в колледж. При процентной ставке в 6 процентов будущая стоимость доллара через 4 года от настоящего момента составит 1,26$. Поскольку на процентный доход следует платить федеральный налог и налог штата, через четыре года доллар принесет доход после выплаты налогов в размере 1,19$. Однако, так как этот дополнительный доллар сбережений увеличивает совокупные активы родителей, сумма помощи. получаемой дочерью, уменьшается в течение каждого из четырех лет ее обучения в колледже.   В результате этого "налога на образование" будущая стоимость доллара через 4 года составит лишь 87 центов. Это эквивалентно подоходному алогу в размере 150 процентов!

Фельдстейн исследовал также поведение в отношении сбережений в рамках выборки домохозяйств, принадлежащих к среднему классу и имеющих детей в возрасте накануне  поступления в колледж. По его оценкам, домохозяйство с доходом в 40000$ и двумя детьми возраста поступления в колледж сберегает, вследствие комбинации федеральных налогов, налогов штата и налога "на образование"  на 50 процентов меньше того, что оно сберегало бы в отсутствие указанных налогов.

 

10.11 Выбор ставки процента

 

Выше мы говорили о "ставке процента". В реальной жизни существует много ставок процента: номинальные, реальные, ставки до выплаты налогов, ставки после выплаты налогов. краткосрочные. долгосрочные ставки и т.д. Какую же "правильную” ставку следует использовать, проводя анализ текущей стоимости?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо подумать об основах данного анализа. Идея текущей дисконтированной стоимости возникла потому, что мы хотели иметь возможность превращать деньги в один момент времени в эквивалентную сумму в другой момент времени. “Ставка процента" есть доход на инвестиции, позволяющий нам осуществлять подобное превращение фондов.

Если мы хотим использовать данный анализ в ситуации существования множественных ставок процента, следует спросить себя, свойства какой из этих ставок в наибольшей мере отвечают потоку платежей, который мы пытаемся оценить. Если данный поток платежей не облагается налогом. следует использовать ставку процента после выплаты налогов. Если поток платежей продолжается в течение 30 лет, следует использовать долгосрочную ставку процента. Если поток платежей имеет рисковый характер, следует использовать ставку процента на вложения со сходными характеристиками риска. ( О том, что это последнее утверждение означает  на самом деле, мы поговорим более подробно позднее.)

Ставка процента показывает альтернативную стоимость фондов - стоимость альтернативного использования ваших денег. Поэтому каждый поток платежей должен сравниваться с наилучшей для вас аьтернативой, имеющей сходные характеристики с точки зрения налогового режима, риска и ликвидности.

 

Краткие выводы

 

1. Бюджетное ограничение для межвременного выбора может быть выражено через текущую стоимость или будущую стоимость.

 

2. Результаты сравнительно-статического анализа. полученные ранее для более общих задач выбора, могут быть применены также и к межвременному выбору.

 

3. Реальная ставка процента показывает то дополнительное потребление, которое можно получить в будущем, отказавшись от какой-то части сегодняшнего потребления.

 

4. Потребитель, который может брать и давать взаймы по постоянной ставке процента, всегда должен предпочесть начальный запас с более высокой текущей стоимостью начальному запасу с более низкой текущей стоимостью.

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

 

1. Сколько стоит сегодня 1 миллион долларов, подлежащий получению через 20 лет, если процентная ставка составляет 20 процентов?

 

2. Каким становится межвременное бюджетное ограничение с ростом ставки процента -более крутым или более пологим?

 

3. Допустима ли предпосылка о том, что рассматриваемые товары являются совершенными субститутами, при изучении межвременных покупок продуктов питания?

 

4. Потребитель, первоначально являвшийся кредитором, остается кредитором и после снижения процентных ставок. Что можно сказать о благосостоянии этого потребителя после изменения процентных ставок - выросло оно или снизилось? Повышается его благосостояние или понижается, если после этого изменения процентных ставок потребитель становится заемщиком?

 

5. Какова текущая стоимость 100 долларов, получаемых через год, если процентная ставка равна 10%? Какова эта текущая стоимость , если процентная ставка равна 5% ?