Глава 19 - МИНИМИЗАЦИЯ ИЗДЕРЖЕК

 

 

Наша цель — изучение поведения фирм, максимизирующих прибыль как в конкурентной, так и в неконкурентной рыночной среде. В предшествующей главе мы начали наше исследование поведения фирмы, нацеленного на максимизацию прибыли в конкурентной среде, непосредственно с изучения задачи максимизации прибыли.

Однако ряд важных умозаключений может быть получен при более косвенном подходе к данной проблеме. Разделим задачу максимизации прибыли на два этапа. Вначале рассмотрим задачу минимизации издержек производства любого заданного объема выпуска, а затем выбор самого прибыльного объема выпуска. В настоящей главе мы проанализируем первый этап решения задачи —минимизацию издержек производства заданного объема выпуска.

19.1. Минимизация издержек

Предположим, что у нас имеется два фактора производства с ценами w₁ и w₂ и мы хотим найти самый дешевый способ производства заданного объема выпуска y. Если обозначить используемые количества каждого из двух факторов через x₁ и x₂, а производственную функцию для фирмы — через f(x₁, x₂), то эту задачу можно записать в виде

 

min w₁x₁ + w₂x₂

                                                                                                    x₁, x₂

 

 при f(x₁, x₂) = y.

При проведении подобного рода анализа следует сделать те же предупреждения, что и в предыдущей главе: убедитесь, что вы включили в подсчет издержек все издержки производства и что все измерения производятся в совместимом временном масштабе.

Решение этой задачи минимизации издержек — величина минимальных издержек, необходимых для достижения определенного объема выпуска, — будет зависеть от w₁, w₂ и y, поэтому мы запишем это решение как c(w₁, w₂, y). Эта функция известна как функция издержек, и она будет представлять для нас значительный интерес. Функция издержек c(w₁, w₂, y) показывает минимальные издержки производства y единиц выпуска при ценах факторов, равных (w₁, w₂).

Чтобы понять решение этой задачи, изобразим функцию издержек и технологические ограничения для фирмы на одном графике. Изокванты дают нам технологические ограничения — все комбинации x₁ и x₂, с помощью которых можно произвести y.

Предположим, что мы хотим нанести на график все комбинации факторов, дающие один и тот же уровень издержек C. Мы можем записать это в виде выражения

 

w₁x₁ + w₂x₂ = C,

 

которое может быть преобразовано в

 

x₂ = —x₁.

 

Легко увидеть, что это уравнение прямой, имеющей наклон —w₁/w₂ и точку пересечения с вертикальной осью C/w₂. Изменяя число C, мы получаем целое семейство изокост. Каждая точка изокосты выражает одни и те же издержки C, и более высокие изокосты связаны с большими издержками.

Таким образом, наша задача минимизации издержек может быть перефразирована следующим образом: найти на изокванте точку, с которой связана самая низкая изокоста. Такая точка показана на рис.19.1.

Обратите внимание на то, что если оптимальное решение предполагает использование некоторого количества каждого из факторов и если изокванта представляет собой гладкую кривую, то точка минимизации издержек будет характеризоваться условием касания: наклон изокванты должен быть равен наклону изокосты. Или, пользуясь терминологией гл.17, технологическая норма замещения должна равняться отношению цен факторов:

 

                             —= TRS(, ) = —.                           (19.1)

 

(В случае краевого решения, когда один из двух факторов не используется, условие касания удовлетворяться не должно. Аналогичным образом, если производственная функция имеет "изломы", условие касания теряет смысл. Эти исключения подобны исключениям в ситуации с потребителем, поэтому в настоящей главе мы не будем акцентировать внимание на указанных случаях.)

 

 

Рис. 19.1

Минимизация издержек. Выбор количеств факторов, минимизирующих издержки производства, может определяться нахождением на изокванте точки, связываемой с самой низкой изокостой.

 

Алгебра, скрывающаяся за уравнением (19.1), трудностей не представляет. Рассмотрим любое изменение структуры производства (Dx₁, Dx₂), при котором выпуск остается постоянным. Такое изменение должно удовлетворять уравнению:

 

                             MP₁(, )Dx₁ + MP₂(, )Dx₂ = 0.                          (19.2)

 

Обратите внимание на то, что Dx₁ и Dx₂ должны иметь противоположные знаки; если вы увеличиваете используемое количество фактора 1, то для сохранения выпуска неизменным вам придется уменьшить используемое количество фактора 2.

Если мы находимся в точке минимума издержек, то данное изменение не может привести к снижению издержек, поэтому должно соблюдаться условие:

 

                                            w₁Dx₁ + w₂Dx₂ ≥ 0.                                          (19.3)

Теперь рассмотрим изменение (—Dx₁, —Dx₂), при котором также производится постоянный объем выпуска и издержки также не могут снижаться. Это подразумевает, что

 

                                          —w₁Dx₁ — w₂Dx₂ ≥ 0.                                        (19.4)

 

Сложив выражения (19.3) и (19.4), получим

 

                                            w₁Dx₁ + w₂Dx₂ = 0.                                          (19.5)

 

Решение уравнений (19.2) и (19.5) для Dx₂/Dx₁ дает нам

 

= —= —,

 

а это не что иное, как условие минимизации издержек, выведенное выше путем геометрических рассуждений.

Обратите внимание на некоторое сходство рис. 19.1 с решением задачи потребительского выбора, графически изображенным ранее. Хотя эти решения и выглядят одинаково, на самом деле они относятся к разным задачам. В задаче потребительского выбора прямая являлась бюджетным ограничением, и потребитель в поисках наиболее предпочитаемого положения двигался вдоль бюджетного ограничения. В задаче с производителем изокванта представляет собой технологическое ограничение, и производитель в поисках оптимального положения перемещается вдоль изокванты.

Выбор количеств факторов, минимизирующих издержки фирмы, вообще говоря, зависит от цен факторов и от того объема выпуска, который фирма хочет производить, поэтому мы записываем эти выбранные количества факторов в виде x₁(w₁, w₂, y) и x₂(w₁, w₂, y). Это так называемые функции условного спроса на факторы, или функции производного спроса на факторы. Они показывают взаимосвязь между ценами и выпуском и оптимальный выбор фирмой количества факторов при условии производства фирмой заданного объема выпуска y.

Обратите особое внимание на различие между функциями условного спроса на факторы и функциями спроса на факторы, максимизирующего прибыль, которые были рассмотрены в предыдущей главе. Функции условного спроса на факторы показывают выбор, минимизирующий издержки при заданном объеме выпуска; функции же спроса на факторы, максимизирующего прибыль, показывают выбор, максимизирующий прибыль при заданной цене фактора.

Функции условного спроса на факторы, как правило, не являются непосредственно наблюдаемыми: они представляют собой гипотетическое построение и отвечают на вопрос, сколько каждого фактора использовала бы фирма, если бы хотела произвести заданный объем выпуска самым дешевым способом. Однако функции условного спроса на факторы полезны в качестве способа отделения задачи определения оптимального объема выпуска от задачи определения метода производства, минимизирующего издержки.

ПРИМЕР:  Минимизация издержек для случаев конкретных технологий

Предположим, что мы рассматриваем технологию, при которой факторы производства являются совершенными комплементами, так что f(x₁, x₂) = = min {x₁, x₂}.Тогда, если мы хотим произвести y единиц выпуска, нам явно потребуется y единиц x₁ и y единиц x₂. Следовательно, минимальные издержки производства будут равны

 

c(w₁, w₂, y) = w₁y + w₂y = (w₁ + w₂)y.

 

Что можно сказать о случае технологии с использованием совершенных субститутов f(x₁, x₂) = x₁ + x₂? Поскольку товары 1 и 2 выступают в производстве совершенными субститутами, ясно, что фирма будет использовать тот из них, который дешевле. Поэтому минимальные издержки производства y единиц выпуска составят w₁y или w₂y в зависимости от того, какая из этих двух величин меньше. Другими словами:

 

c(w₁, w₂, y) = min{w₁y, w₂y} = min{w₁, w₂}y.

 

Наконец, рассмотрим технологию Кобба—Дугласа, описываемую формулой f(x₁, x₂) = . В этом случае мы можем применить технику дифференциального исчисления, чтобы показать, что функция издержек примет вид

 

c(w₁, w₂, y) = K,

 

где K есть константа, зависящая от a и от b. Подробности этого исчисления представлены в приложении.

19.2. Выявленная минимизация издержек

Предположение о том, что фирма выбирает факторы таким образом, чтобы минимизировать издержки производства выпуска, имеет последствия, касающиеся изменения наблюдаемого выбора по мере изменений цен факторов.

Предположим, что из наблюдений нам известны два набора цен () и () и связанные с ними выбранные фирмой количества факторов () и (). Предположим также, что с помощью каждой из этих выбранных комбинаций факторов производится один и тот же объем выпуска y. Тогда, если каждая выбранная комбинация факторов есть комбинация, минимизирующая издержки при соответствующих ценах, то должно соблюдаться

 

 

 

и

 

 .

Если фирма всегда выбирает такой способ производства y единиц выпуска, который минимизирует ее издержки, то комбинации факторов, выбранные фирмой в моменты времени t и s, должны удовлетворять указанным неравенствам. Мы будем называть эти неравенства слабой аксиомой минимизации издержек (Weak Axiom of Cost Minimization WACM).

Запишем второе неравенство в виде

 

——  ≤ ——

 

и прибавим его к первому неравенству, получив при этом неравенство

 

(— ) + (— ) ≤ (— ) + (— ),

 

которое может быть преобразовано к виду

 

(— ) (—) + (— ) (—) ≤ 0.

 

Используя для изменения спроса на факторы и цен факторов D, мы получаем

 

Dw₁Dx₁ + Dw₂Dx₂ ≤ 0.

 

Это неравенство следует исключительно из предпосылки о поведении, минимизирующем издержки. Оно налагает ограничения на возможные изменения в поведении фирмы при изменении цен факторов и сохранении постоянного объема выпуска.

Например, если цена первого фактора возрастает, а цена второго — остается постоянной, то Dw₂ = 0, так что неравенство приобретает вид

 

Dw₁Dx₁ = 0.

 

Если цена фактора 1 возрастает, то, как следует из данного неравенства, спрос на фактор 1 должен сокращаться; следовательно, кривая условного спроса на фактор должна иметь отрицательный наклон.

Что можно сказать о том, как меняются минимальные издержки при изменении параметров задачи? Нетрудно видеть, что с ростом цены любого из факторов издержки должны увеличиваться: если один из факторов становится дороже, а цена другого остается без изменений, то минимальные издержки не могут снижаться и, вообще говоря, будут расти. Аналогичным образом, если фирма решает производить больше выпуска и цены факторов остаются постоянными, то издержки фирмы должны будут расти.

19.3. Отдача от масштаба и функция издержек

В гл. 17 мы обсуждали идею отдачи от масштаба применительно к производственной функции. Вспомним, что технология характеризуется возрастающей, убывающей или постоянной отдачей от масштаба в зависимости от того, является ли f(x₁, x₂) величиной большей, меньшей или равной tf(x₁, x₂) для всех t > 1. Оказывается, существует отчетливо прослеживаемая взаимосвязь между типом отдачи от масштаба, характеризующим производственную функцию, и поведением функции издержек.

Предположим вначале, что мы имеем дело с естественным случаем постоянной отдачи от масштаба. Представьте, что мы решили задачу минимизации издержек для производства одной единицы выпуска, поэтому нам известна функция единичных издержек c(w₁, w₂, 1). Какой же самый дешевый способ произвести y единиц выпуска? Ответ прост: мы используем каждого фактора просто в y раз больше, чем для производства одной единицы выпуска. Это означает, что минимальные издержки производства y единиц выпуска составят просто c(w₁, w₂, 1)y. В случае постоянной отдачи от масштаба функция издержек является линейной по выпуску.

Что если мы имеем дело с возрастающей отдачей от масштаба? В этом случае оказывается, что с возрастанием выпуска издержки возрастают медленнее, чем при линейной зависимости. Если фирма решает произвести выпуск в два раза больше, она может сделать это при менее чем удвоенных издержках, при условии, что цены факторов остаются постоянными. Это естественное следствие идеи возрастающей отдачи от масштаба: если фирма удваивает используемое количество факторов, то она более чем удвоит выпуск. Следовательно, если она хочет произвести выпуск вдвое больше, она сможет сделать это, используя менее чем в два раза больше каждого фактора.

Однако удвоение используемого количества каждого фактора увеличит издержки ровно в два раза. Поэтому увеличение используемого количества каждого фактора менее чем вдвое приведет к возрастанию издержек менее чем в два раза: это говорит нам о том, что функция издержек с ростом выпуска будет возрастать медленнее, чем при линейной зависимости.

Аналогичным образом, если технология характеризуется убывающей отдачей от масштаба, функция издержек с ростом выпуска будет возрастать быстрее, чем при линейной зависимости. С удвоением выпуска издержки более чем удвоятся.

Эти факты могут быть выражены с позиций поведения функции средних издержек. Функция средних издержек — это просто издержки на единицу производства y единиц выпуска:

 

 AC(y) =.

 

Если технология характеризуется постоянной отдачей от масштаба, то, как мы видели выше, функция издержек имеет вид c(w₁, w₂, y) = c(w₁, w₂, 1)y . Это означает, что функция средних издержек будет иметь вид

 

AC(w₁, w₂, y) =  = c(w₁, w₂, 1).

 

Иными словами, издержки на единицу выпуска будут постоянными, независимо от того, какой объем выпуска захочет производить фирма.

Если технология характеризуется возрастающей отдачей от масштаба, то издержки с ростом выпуска растут медленнее, чем при линейной зависимости, так что средние издержки демонстрируют убывающую зависимость от выпуска: с возрастанием выпуска средние издержки производства имеют тенденцию к снижению.

Аналогичным образом, если технология характеризуется убывающей отдачей от масштаба, средние издержки с ростом выпуска будут возрастать.

Как мы видели ранее, данная технология может иметь области возрастающей, постоянной или убывающей отдачи от масштаба — выпуск при различных объемах производства может расти быстрее с той же скоростью или медленнее, чем масштабы действий фирмы. Подобным же образом при различных объемах производства функция издержек может убывать, оставаться постоянной или возрастать. В следующей главе мы исследуем эти возможности более подробно.

С настоящего же момента нас больше всего будет интересовать поведение функции издержек относительно переменной выпуска. Мы будем представлять цены факторов большей частью фиксированными на некоторых предопределенных уровнях и считать издержки зависящими только от выбора фирмой объема выпуска. Таким образом, во всех остальных главах книги мы будем записывать функцию издержек как функцию одного только выпуска: c(y).

19.4. Долгосрочные и краткосрочные издержки

Функция издержек определяется как минимальные издержки получения данного объема выпуска. Часто бывает важно отличать минимальные издержки для случая, когда фирма может изменять количества всех используемых ею факторов производства, от минимальных издержек для случая, когда фирма может изменять количества лишь некоторых факторов производства.

Мы определили короткий период как период, в котором некоторые из факторов производства должны использоваться в постоянном количестве. В длительном периоде все факторы производства могут изменяться. Функцию краткосрочных издержек определяют как минимальные издержки производства данного объема выпуска при изменении количеств лишь переменных факторов производства. Функция долгосрочных издержек показывает минимальные издержки производства данного объема выпуска при изменении всех факторов производства.

Предположим, что в коротком периоде количество фактора 2 фиксировано на каком-то предопределенном уровне , но в длительном периоде оно может изменяться. Тогда функция краткосрочных издержек определяется задачей

 

c_s(y, ) = min w₁x₁ + w₂

                                                                                                             x₁

 

 при   f(x₁, ) = y.

Обратите внимание, что в общем случае минимальные издержки производства y единиц выпуска в коротком периоде будут зависеть от количества и стоимости имеющегося постоянного фактора.

В случае двух факторов производства эту задачу минимизации решить нетрудно: мы просто находим наименьшее количество x₁, такое, что f(x₁, ) = y. Однако если имеется много факторов производства, являющихся в коротком периоде переменными, решение задачи минимизации издержек потребует более сложных расчетов.

Функция краткосрочного спроса на фактор 1 есть то количество фактора 1, которое минимизирует издержки. В общем случае это количество зависит от цен факторов, а также от количеств постоянных факторов, так что мы записываем функции краткосрочного спроса на факторы как

 

                                                  x₁ = (w₁, w₂, , y),

                                                  x₂ = .

 

Из этих уравнений следует, например, что если в коротком периоде площади производственного здания постоянны, то число рабочих, которое хочет нанять фирма при любом заданном наборе цен и выбранном объеме выпуска, будет, как правило, зависеть от площадей здания.

Обратите внимание, что согласно определению функции краткосрочных издержек

 

c_s(y, ) = w₁(w₁, w₂, , y) + w₂.

 

Это выражение подтверждает, что минимальные издержки производства выпуска y есть издержки, связываемые с использованием комбинации факторов производства, минимизирующей издержки. Это верно по определению, но тем не менее оказывается полезным.

Функция долгосрочных издержек в этом примере определяется задачей

 

c_s(y) = min w₁x₁ + w₂x₂

                                                                                                         x₁, x₂

 

 при   f(x₁, x₂) = y.

 

Здесь могут изменяться оба фактора. Долгосрочные издержки зависят, кроме цен факторов, только от объема выпуска, который хочет производить фирма. Запишем функцию долгосрочных издержек как c(y), а функции долгосрочного спроса на факторы — как

 

x₁ = x₁(w₁, w₂, y),

 

x₂ = x₂(w₁, w₂, y).

 

Мы также можем записать функцию долгосрочных издержек как

 

c(y) = w₁x₁(w₁, w₂, y) + w₂x₂(w₁, w₂, y).

Как и раньше, это выражение свидетельствует, что минимальные издержки есть издержки, которые фирма несет при условии использования комбинации факторов, минимизирующей издержки.

Между функциями краткосрочных и долгосрочных издержек существует интересная взаимосвязь, которая будет использована нами в следующей главе. Для простоты предположим, что цены факторов фиксированы на неких предопределенных уровнях, и запишем функции долгосрочного спроса на факторы в виде

 

x₁ = x₁(y)

x₂ = x₂(y).

 

Тогда функцию долгосрочных издержек можно записать также в виде

 

c(y) = c_s(y, x₂(y)).

 

Чтобы убедиться в правильности записи, подумайте о том, что она означает: в данном уравнении говорится, что минимальные издержки для случая, когда все факторы являются переменными, есть не что иное как минимальные издержки для случая, когда количество фактора 2 фиксировано на уровне, минимизирующем долгосрочные издержки. Следовательно, долгосрочный спрос на переменный фактор — выбор, минимизирующий издержки, — задан уравнением

 

x₁(w₁, w₂, y) = (w₁, w₂, x₂(y), y)

 

В этом уравнении утверждается, что в длительном периоде количество переменного фактора, минимизирующее издержки, есть то количество фактора, которое фирма выбрала бы в коротком периоде, если бы оказалось, что в этом периоде у нее имелось количество постоянного фактора, минимизирующее издержки в длительном периоде.

19.5. Постоянные и квазипостоянные издержки

В гл. 18 мы провели различие между постоянными и квазипостоянными факторами. Постоянные факторы — это факторы, которые должны оплачиваться независимо от того, производится какой-либо выпуск или нет. Квазипостоянные факторы должны оплачиваться только в случае, если фирма решает производить положительный объем выпуска.

Естественно было бы подобным же образом определить постоянные и квазипостоянные издержки. Постоянные издержки — это издержки, связываемые с постоянными факторами: они не зависят от объема выпуска и, в частности, должны оплачиваться независимо от того, производит фирма какой-то выпуск или нет. Квазипостоянные издержки — это издержки, которые тоже не зависят от объема выпуска, но должны оплачиваться только при условии производства фирмой положительного объема выпуска.

В длительном периоде по определению постоянных издержек не бывает, однако вполне могут существовать квазипостоянные издержки. Если началу производства какого-то объема выпуска должна предшествовать затрата какой-то постоянной суммы, то можно говорить о наличии квазипостоянных издержек.

19.6. Невозвратные издержки

Другая разновидность постоянных издержек — невозвратные издержки. Смысл этого понятия лучше всего объяснить на примере. Предположим, что вы решили снять офис в аренду на год. Ежемесячная арендная плата, которую вы обязались платить, есть постоянные издержки, поскольку вы обязаны выплачивать ее независимо от производимого вами объема выпуска. Теперь предположим, что вы решаете обновить офис, перекрасив его и купив мебель. Издержки на краску — это постоянные издержки, но это также и невозвратные издержки, поскольку это выплаты, которые произведены и не могут быть возмещены. С другой стороны, издержки на покупку мебели — не совсем невозвратные, поскольку вы можете перепродать мебель, когда она больше не будет вам нужна. Невозвратной является только разность между стоимостью новой и подержанной мебели.

Чтобы объяснить это более детально, предположим, что вы берете взаймы 20 000 долл. в начале года, скажем, под 10% годовых. Вы подписываете договор об аренде офиса и платите 12000 долл. арендной платы вперед за следующий год 6000 долл. вы тратите на мебель для офиса и 2000 долл. на окраску офиса. В конце года вы возвращаете ссуду в 20000 долл. плюс 2000 долл. процентных платежей и продаете бывшую в употреблении офисную мебель за 5000 долл.

Ваши общие невозвратные издержки включают 12000 долл. арендной платы, 2000 долл. процентных платежей, 2000 долл. на краску, но только 1000 долл. на мебель, поскольку 5000 долл. первоначальных расходов на мебель возместимы.

Разность между невозвратными издержками и возместимыми издержками может быть довольно значительной. Расходы в размере 100 000 долл. на покупку пяти легких грузовиков представляются кучей денег, но если впоследствии они могут быть проданы на рынке подержанных грузовиков за 80 000 долл., фактические невозвратные издержки составят лишь 20 000 долл. Расходы же в 100 000 долл. на приобретение изготовленного по заказу пресса для штамповки каких-то уникальных деталей, при перепродаже которого можно выручить лишь нулевую стоимость, — дело совсем другое; в этом случае все расходы являются невозвратными.

Лучший способ правильно решать эти вопросы — это учитывать все расходы в виде потоков, т.е. спрашивать себя, во сколько обходится ведение бизнеса в течение года. При таком способе учета существует меньшая вероятность забыть учесть стоимость, полученную в результате перепродажи капитального оборудования, и большая вероятность четкого проведения различия между невозвратными издержками и возместимыми издержками.

Краткие выводы

1.    Функция издержек c(w₁, w₂, y) показывает минимальные издержки произ-водства данного объема выпуска при заданных ценах факторов.

2.    Поведение, направленное на минимизацию издержек, налагает на выбор фирм заметные ограничения. В частности, функции условного спроса на факторы должны иметь отрицательный наклон.

3.    Существует тесная взаимосвязь между отдачей от масштаба, демон-стрируемой данной технологией, и поведением функции издержек. Воз-растающая отдача от масштаба подразумевает убывание средних издержек, убывающая отдача от масштаба подразумевает возрастание средних издер-жек и постоянная отдача от масштаба подразумевает постоянные средние издержки.

4.    Невозвратные издержки — это издержки, которые не могут быть возмещены.

ВОПРОСЫ ДЛЯ  ПОВТОРЕНИЯ

1.    Докажите, что максимизирующая прибыль фирма будет всегда миними-зировать издержки.

2.    Если фирма производит в точке, где MP₁/w₁ > MP₂/w₂, то что она может сделать, чтобы сократить издержки, оставив при этом выпуск без изме-нений?

3.    Предположим, что минимизирующая издержки фирма использует два фактора, являющихся совершенными субститутами. Как будут выглядеть функции условного спроса на факторы, если цены обоих факторов оди-наковы?

4.    Цена бумаги, используемой минимизирующей издержки фирмой, растет. Фирма отвечает на это изменение цены изменением спроса на некоторые факторы производства, но сохраняет выпуск постоянным. Что произойдет с количеством бумаги, используемым фирмой ?

5.    Какое неравенство, характеризующее изменения цен факторов (Dw_i) и спроса на факторы (Dx_i) при заданном объеме выпуска, следует из теории выявленной минимизации издержек для случая использования фирмой n факторов производства (n > 2)?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Обратимся к рассмотрению предложенной в тексте задачи минимизации издержек, используя технику оптимизации, с которой вы познакомились в гл. 5. Речь идет о задаче минимизации издержек, имеющей вид:

 

min w₁x₁ + w₂x₂

                                                                                                     x₁, x₂

 

 при  f(x₁, x₂) = y.

Вспомним, что для решения такого рода задач мы пользовались несколькими техническими приемами. Одним из них была подстановка ограничения в целевую функцию. Этим методом по-прежнему можно пользоваться, когда мы имеем дело с функцией конкретного вида f(x₁, x₂), однако, в общем случае он имеет ограниченное применение.

Вторым методом был метод множителей Лагранжа, и он прекрасно подходит для решения рассматриваемой задачи. Чтобы применить этот метод, мы строим функцию Лагранжа

 

L = w₁x₁ + w₂x₂ — λ(f(x₁, x₂) — y)

 

и берем ее производные по x₁, x₂ и λ. Это дает нам условия первого порядка:

 

w₁ — λ= 0,

 

w₂ — λ= 0,

 

f(x₁, x₂) — y = 0.

 

Последнее условие есть не что иное, как ограничение. Мы можем преобразовать первые два уравнения и поделить первое уравнение на второе, получив при этом

 

 .

 

Обратите внимание на то, что это то же самое условие первого порядка, которое мы вывели в тексте: технологическая норма замещения должна равняться отношению цен факторов.

Применим этот метод к производственной функции Кобба—Дугласа:

 

f(x₁, x₂) = .

 

Тогда задача минимизации издержек принимает вид

 

min w₁x₁ + w₂x₂

                                                                                                     x₁, x₂

 

 при = y.

 

Перед нами конкретный вид задачи для функции особого вида, и мы можем решить эту задачу, используя либо метод подстановки, либо метод Лагранжа. При методе подстановки следует вначале выразить из ограничения x₂ как функцию x₁:

 

x₂ = ,

 

а затем подставить полученное выражение в целевую функцию, чтобы перейти тем самым к задаче минимизации без ограничений

 

min w₁x₁ + w₂.

                                                                                             x₁

Мы могли бы, как обычно, взять производную этого выражения по x₁ и приравнять ее к нулю. Можно решить полученное в результате этого уравнение, получив x₁ как функцию w₁, w₂ и y, чтобы получить функцию условного спроса на x₁. Сделать это нетрудно, но алгебра здесь довольно запутанная, и мы не будем выписывать все детали решения задачи указанным методом.

Мы, однако, решим данную задачу методом Лагранжа. Три условия первого порядка представляют собой

 

                                                      w₁ = λ

 

                                                      w₂ = λ

 

                                                      y   =.

 

Умножим первое уравнение на x₁ и второе уравнение на x₂, получив при этом

 

w₁x₁ = λ = λay

 

w₂x₂ = λ= λby,

 

так что

 

                                                                    x₁ = λ                                                                 (19.6)

 

                                                                   x₂ = λ.                                                                (19.7)

 

Теперь мы воспользуемся третьим уравнением, чтобы получить выражение для λ.

Подставляя в условие третьего порядка решения для x₁ и x₂, получаем

 

= y.

 

Мы можем найти из этого уравнения λ, получив довольно внушительное выражение

 

λ = ,

 

которое наряду с уравнениями (19.6) и (19.7) дает нам окончательные решения для x₁ и x₂. Эти функции спроса на факторы будут иметь вид:

 

x₁(w₁, w₂, y) =

 

x₂(w₁, w₂, y) = .

Функцию издержек можно найти, записав выражения для издержек при выборе фирмой комбинаций факторов, минимизирующих издержки. Иными словами,

 

c(w₁, w₂, y) = w₁x₁(w₁, w₂, y) + w₂x₂(w₁, w₂, y).

 

В результате ряда утомительных алгебраических преобразований мы получаем

 

c(w₁, w₂, y) = .

 

(Не беспокойтесь, этой формулы на итоговом экзамене не будет. Она приведена только для того, чтобы продемонстрировать, как мы получаем точное решение задачи минимизации издержек, применяя метод множителей Лагранжа.)

Обратите внимание на то что с ростом выпуска, издержки будут расти быстрее, чем при линейной зависимости, с той же скоростью, или медленнее, в зависимости от того, является ли a + b величиной меньшей, равной или большей 1. Это имеет смысл, поскольку в зависимости от величины a + b технология Кобба—Дугласа характеризуется убывающей, постоянной или возрастающей отдачей от масштаба.