Глава 30 - ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БЛАГОСОСТОЯНИЯ

 

 

До сих пор при оценке распределений в экономике наше внимание было сосредоточено на соображениях эффективности по Парето. Однако существуют и другие важные соображения, которые следовало бы учесть в данной связи. Необходимо помнить, что эффективность по Парето ничего не говорит нам о распределении благосостояния между людьми; ситуация, когда все отдается одному индивиду, как правило, является эффективной по Парето. Все остальные, однако, могли бы не посчитать такое распределение разумным. В настоящей главе мы исследуем некоторые технические приемы, которые могут быть использованы для формализации идей, связанных с распределением благосостояния.

Сама по себе эффективность по Парето — цель желательная: если существует какой-то способ повысить благосостояние какой-либо группы людей, не нанеся ущерба остальным людям, то почему бы им не воспользоваться? Однако обычно имеется много распределений, эффективных по Парето; как обществу выбрать наиболее предпочтительное из них?

Главный предмет рассмотрения настоящей главы — идея функции благосостояния, которая позволяет "складывать" полезности различных потребителей. В более общем смысле функция благосостояния дает способ ранжировать различные распределения полезности между потребителями. Прежде чем исследовать смысл данного понятия, целесообразно рассмотреть, как можно было бы "складывать" предпочтения индивидуальных потребителей, чтобы сконструировать нечто вроде "общественных предпочтений".

30.1. Агрегирование предпочтений

Вернемся к развернутому нами ранее обсуждению предпочтений потребителей. Как обычно, будем считать, что эти предпочтения транзитивны. Первоначально мы думали, что предпочтения потребителя определяются в отношении его собственного товарного набора, теперь же мы хотим расширить это концепцию, представив себе, что у каждого потребителя имеются предпочтения в отношении полного распределения товаров между потребителями. Разумеется, это не исключает возможности того, что, в полном соответствии с ранее принятой нами предпосылкой, данному потребителю может быть и безразлично, чем именно владеют другие люди.

Воспользуемся символом x для обозначения конкретного распределения, т.е. описания того, сколько каждого товара получает индивид. Тогда, если даны два распределения x и y, то каждый индивид i может сказать, предпочитает ли он распределение x распределению y.

При заданных предпочтениях всех индивидов хотелось бы иметь способ "агрегирования" их в одно общественное предпочтение. Иными словами, зная, каким образом ранжируют различные распределения все индивиды, мы хотели бы иметь возможность использовать эту информацию для построения общественного ранжирования различных предпочтений. Это проблема принятия общественных решений на ее самом общем уровне. Рассмотрим в этой связи некоторые примеры.

Один из способов агрегирования индивидуальных предпочтений состоит в использовании своего рода голосования. Мы могли бы условиться, что x "общественно предпочитается" y, если большинство индивидов предпочитают распределение x распределению y. Однако в связи с этим методом возникает одна проблема — он может не дать нам транзитивного ранжирования общественных предпочтений. Рассмотрим, например, случай, представленный в табл.30.1.

 

Предпочтения, приводящие к нетранзитивному голосованию

Табл. 30.1

 

 

В этой таблице приведены варианты ранжирования трех альтернатив x, y и z тремя людьми. Обратите внимание на то, что большинство людей предпочитает распределение x распределению y, распределение y — распределению z и распределение z — распределению x. Поэтому агрегирование индивидуальных предпочтений методом голосования по принципу большинства (мажоритарного голосования) в данном случае неприменимо, так как, вообще говоря, общественные предпочтения, являющиеся результатом голосования по принципу большинства, не стандартные, ибо они не транзитивны. Поскольку предпочтения не транзитивны, из множества альтернатив (x, y, z) невозможно выбрать лучшую. Исход, выбираемый обществом, будет зависеть от порядка голосования.

Чтобы увидеть, что дело обстоит именно так, предположим, что три человека, чьи предпочтения представлены в табл.30.1, решают вначале голосовать по поводу того, какое распределение предпочтительнее из пары x и y, а затем — по поводу сопоставления распределения, победившего в первом туре, с распределением z. Поскольку большинство предпочитает распределение x распределению y, вторым туром будет соперничество распределений x и z, а это означает, что в итоге победит z.

Но что будет, если они решат вначале голосовать по поводу сопоставления пары распределений z и x, а затем сопоставят победителя этого тура с распределением y? Теперь в первом туре победителем оказывается z, однако y побеждает z во втором туре. То, каким будет окончательный исход, зависит, главным образом, от порядка представления альтернатив голосующим.

Можно рассмотреть и другой механизм голосования — так называемое ранжирующее голосование. В этом случае каждый индивид ранжирует товары в соответствии со своими предпочтениями и приписывает каждой альтернативе число, обозначающее ее ранг в указанном ранжировании: например, обозначает лучшую альтернативу цифрой 1, следующую за ней — цифрой 2 и т.д. Затем мы суммируем очки для каждой из альтернатив по всем людям, определяя общий счет очков по каждой альтернативе, и говорим, что один исход общественно предпочитается другому, если счет очков по нему ниже.

В табл.30.2 проиллюстрировано возможное ранжирование предпочтений в отношении трех распределений x, y и z для двух людей. Сначала предположим, что допустимыми являются только альтернативы x и y. Тогда в этом примере индивид A приписывает x ранг 1, а индивид B — ранг 2. Альтернативе y очки приписываются как раз в обратном порядке. Поэтому исходом голосования в данном случае был бы равный счет очков избирателей по каждой альтернативе, получающей совокупный ранг 3.

 

Табл. 30.2

Выбор между x и y зависит от z

 

Теперь предположим, что в избирательный бюллетень вносится z. Индивид A приписал бы тогда альтернативе x ранг 1, y — ранг 2 и z — ранг 3. Индивид B приписал бы y ранг 1, z — ранг 2 и x — ранг 3. Это означает, что альтернатива x получила бы теперь совокупный ранг 4, а y — совокупный ранг 3. В этом случае согласно ранжирующему голосованию альтернатива y предпочитается альтернативе x.

Проблема как с голосованием по принципу большинства, так и с ранжирующим голосованием состоит в том, что проницательные индивиды могут манипулировать исходами указанных голосований. Манипулировать голосованием по принципу большинства в целях получения желаемого исхода можно, изменяя порядок голосования. Манипулировать ранжирующим голосованием можно, внося в избирательный бюллетень новые альтернативы, изменяющие итоговые ранги, приписываемые соответствующим альтернативам.

Естественно, возникает вопрос, существуют ли механизмы принятия общественных решений или способы агрегирования предпочтений, невосприимчивые к такого рода манипуляциям? Существуют ли способы "складывания" предпочтений, не обладающие вышеописанными нежелательными свойствами?

Составим список некоторых требований, которым, по нашему мнению, должен был бы удовлетворять механизм принятия общественных решений:

 

1.    При любом данном наборе совершенно упорядоченных, рефлексивных и транзитивных индивидуальных предпочтений механизм принятия общест-венных решений должен в результате давать общественные предпочтения, обладающие указанными свойствами.

2.    Если каждый предпочитает альтернативу x альтернативе y, то и обще-ственные предпочтения должны приписывать альтернативе x более высо-кий ранг, чем альтернативе y.

3.    Предпочтения в отношении x и y должны зависеть только от того, как люди ранжируют x и y, но не от того, как они ранжируют другие аль-тернативы.

 

Все три указанных требования выглядят вполне приемлемыми. И, тем не менее, найти механизм, который удовлетворял бы им всем, может оказаться весьма непросто. Действительно, Кеннет Эрроу доказал следующий примечательный результат.

 

Теорема невозможности Эрроу. Если механизм принятия общественных решений удовлетворяет свойствам 1, 2 и 3, то речь идет о диктатуре: все общественные ранжирования альтернатив являются ранжированиями этих альтернатив одним индивидом.

 

Теорема невозможности Эрроу ошеломляет. Она показывает, что три совершенно приемлемые и желательные черты механизма принятия общественных решений несовместимы с демократией: не существует идеального способа принятия общественных решений. Не существует идеального способа агрегирования индивидуальных предпочтений в одно общественное предпочтение. Если мы хотим найти способ агрегирования индивидуальных предпочтений, формирующий общественные предпочтения, придется отказаться от одного из свойств механизма принятия общественных решений, описанных в теореме Эрроу.

30.2. Функции общественного благосостояния

Если бы нам пришлось отказаться от какого-то из вышеописанных желательных свойств функции общественного благосостояния, то, возможно, этим свойством было бы свойство 3: общественное предпочтение в отношении двух альтернатив зависит только от ранжирования этих альтернатив. Если мы это сделаем, возможными станут некоторые варианты ранжирующего голосования.

При заданных предпочтениях каждого индивида i в отношении имеющихся распределений мы можем построить функции полезности u_i(x), суммирующие ценностные суждения индивидов: индивид i предпочитает распределение x распределению y только и если только u_i(x) > u_i(y). Разумеется, эти функции подобны всем остальным функциям полезности — их масштаб может быть изменен любым образом, сохраняющим исходное ранжирование предпочтений. Единственного способа представления полезности не существует.

Однако выберем какое-то представление полезности и будем его придерживаться. Тогда один из способов получения общественных предпочтений из предпочтений индивидов состоит в том, чтобы сложить индивидуальные полезности и использовать полученное в результате этого число в качестве своего рода общественной полезности. Иными словами, мы говорим, что распределение x общественно предпочитается распределению y, если

 

(x) > (y),

 

где n есть число индивидов в обществе.

Это срабатывает, но, конечно, эта запись совершенно произвольна, поскольку совершенно произвольным является выбранное нами представление полезности. Выбор использования именно суммы также произволен. Почему бы не воспользоваться взвешенной суммой полезностей? Почему бы не воспользоваться произведением полезностей или суммой квадратов полезностей?

Одно из разумных ограничений, которые можно было бы наложить на "агрегирующую функцию", — она должна возрастать с возрастанием полезности каждого индивида. Таким способом мы гарантируем, что если каждый предпочитает распределение x распределению y, то и с позиций общественных предпочтений распределение x будет предпочитаться распределению y.

Агрегирующая функция такого рода называется функцией общественного благосостояния. Функция общественного благосостояния — это просто некая функция от индивидуальных функций полезности: W(u₁(x), ..., u_n(x)). Она дает способ ранжирования индивидуальных распределений, зависящий только от индивидуальных предпочтений, и является возрастающей функцией полезности каждого индивида.

Обратимся к рассмотрению некоторых примеров. Один из особых случаев функции общественного благосостояния, упоминавшийся выше, — функция имеет вид суммы индивидуальных функций полезности:

 

W(u₁, ..., u_n) = .

 

Иногда данную функцию называют классической утилитаристской функцией общественного благосостояния, или бентамианской функцией общественного благосостояния. Некоторым обобщением функции этого вида является функция благосостояния, представляющая собой взвешенную сумму полезностей:

 

W(u₁, ..., u_n) = .

 

Предполагается, что веса, a₁, ..., a_n, являются здесь числами, указывающими, насколько важна полезность каждого индивида для совокупного общественного благосостояния. Естественно считать каждый коэффициент a_i числом положительным.

Другой интересной функцией благосостояния является минимаксная, или роулсианская, функция общественного благосостояния:

 

W(u₁, ..., u_n) = min {u₁, ..., u_n}.

 

Согласно этой функции благосостояния общественное благосостояние, соответствующее некоему распределению, зависит только от благосостояния индивида с самым низким уровнем благосостояния — индивида с минимальной полезностью.

Каждая из этих функций благосостояния есть способ сравнения индивидуальных функций полезности. Каждая из них представляет различные этические суждения по вопросу о сравнении уровней благосостояний разных индивидов. Единственное ограничение, накладываемое нами на функцию общественного благосостояния на данном уровне анализа: она должна возрастать с возрастанием полезности каждого потребителя.

30.3. Максимизация благосостояния

Раз у нас имеется функция благосостояния, можно рассмотреть задачу максимизации благосостояния. Воспользуемся обозначением , чтобы указать, сколько товара j имеется у индивида i, и предположим, что существует n потребителей и k товаров. Тогда распределение x состоит из перечня количеств каждого из товаров, имеющихся у каждого из индивидов.

Если распределению между индивидами подлежит общее количество X¹, ..., X^k товаров 1, ..., k, можно сформулировать задачу максимизации благосостояния следующим образом:

 

max W(u₁(x), ..., u_n(x))

 

при   = X¹

 

M

 

= X^k.

 

Таким образом, мы пытаемся найти практически осуществимое распределение, которое бы минимизировало общественное благосостояние. Какими свойствами обладает такое распределение?

Первое, что необходимо отметить, — это то, что распределение максимального благосостояния должно быть эффективным по Парето. Доказать это не составляет труда: предположим, что это не так. Тогда существовало бы какое-то другое практически осуществимое распределение, которое давало бы каждому по меньшей мере такую же полезность, а кому-то — полезность строго большую. Однако функция благосостояния является возрастающей функцией полезности каждого из индивидов. Поэтому новому распределению должно было бы соответствовать более высокое благосостояние, что противоречит нашему предположению о максимальности исходного благосостояния.

Эту ситуацию можно проиллюстрировать с помощью рис.30.1, на котором множество U обозначает множество возможных полезностей для случая двух индивидов. Это множество известно как множество возможных полезностей. Граница этого множества — граница возможных полезностей — есть множество уровней полезности, связываемых с распределениями, эффективными по Парето. Если какое-то распределение находится на границе множества возможных полезностей, то не существует других практически осуществимых распределений, которые приносили бы обоим индивидам большую полезность.

На этом графике кривые безразличия называются кривыми равного благосостояния, так как они представляют те распределения полезности, которые дают постоянный уровень благосостояния. Как обычно, точка оптимума характеризуется условием касания. Однако для наших целей важно то, что эта точка максимального благосостояния является эффективной по Парето — она должна находиться на границе множества возможных полезностей.

 

 

Максимизация благосостояния. Распределение, максимизирующее функцию благосостояния, должно быть эффективным по Парето.

Рис. 30.1

 

Следующее наблюдение, которое можно сделать на основе данного графика, состоит в том, что любое распределение, эффективное по Парето, должно быть точкой максимума благосостояния для некой функции благосостояния. Пример этого приведен на рис.30.2.

На рис.30.2 мы выбрали распределение, эффективное по Парето, и нашли множество кривых равного благосостояния, для которого это распределение является точкой максимального благосостояния. На самом деле можно кое-что добавить к сказанному. Если, как показано на рисунке, множество возможных распределений полезности является вогнутым, то каждая точка на границе этого множества есть точка максимума благосостояния для функции благосостояния, представляющей собой взвешенную сумму полезностей. Таким образом, функция благосостояния дает способ выделения распределений, эффективных по Парето: каждая точка максимума благосостояния есть распределение, эффективное по Парето, и каждое распределение, эффективное по Парето, есть точка максимума благосостояния.

 

Рис. 30.2

Максимизация функции благосостояния, представляющей собой взвешенную сумму полезностей. Если множество возможных полезностей является вогнутым, то каждая точка, эффективная по Парето, является точкой максимума функции благосостояния, представляющей собой взвешенную сумму полезностей.

30.4. Индивидуалистические функции общественного благосостояния

До сих пор мы представляли, что индивидуальные предпочтения определяются в отношении полных распределений, а не в отношении товарного набора каждого индивида. Однако, как отмечалось нами ранее, индивидов вполне могут интересовать только их собственные наборы. В таком случае можно обозначить потребительский набор индивида i через x_i и уровень полезности индивида i как u_i(x_i), используя при этом некое фиксированное представление полезности. Тогда функция общественного благосостояния будет иметь вид

 

W = W(u₁(x₁), ..., u_n(x_n)).

 

Данная функция благосостояния прямо выступает как функция уровней полезности индивидов, а косвенно — как функция потребительских наборов отдельных индивидов. Этот конкретный вид функции благосостояния известен как индивидуалистическая функция благосостояния, или функция благосостояния Бергсона—Самуэльсона.

Если полезность каждого индивида зависит только от его собственного потребления, то внешние эффекты, связанные с потреблением, отсутствуют. Поэтому применимым оказывается стандартный результат, полученный в гл.28, и существует тесная взаимосвязь между распределениями, эффективными по Парето, и рыночными равновесиями: все конкурентные равновесия являются эффективными по Парето, и при соответствующих предположениях о выпуклости, все распределения, эффективные по Парето, являются точками конкурентного равновесия.

Теперь мы можем продвинуться в этой классификации еще на один шаг. Если задана описанная выше взаимосвязь между эффективностью по Парето и точками максимума благосостояния, можно заключить, что все точки максимума благосостояния есть конкурентные равновесия и что все конкурентные равновесия есть точки максимума благосостояния для некоторой функции благосостояния.

30.5. Справедливые распределения

Подход с позиций функции благосостояния — это очень общий способ описания общественного благосостояния. Однако именно в силу его общего характера с его помощью можно суммировать свойства многообразных этических суждений. С другой стороны, он не очень-то полезен при решении вопроса о том, какого рода этические суждения можно было бы считать разумными.

Другой подход заключается в том, чтобы начать с каких-то конкретных этических суждений, а затем исследовать их значение для распределения в экономике. Это подход, из которого исходят при изучении справедливых распределений. Вначале определим, какой способ можно было бы считать справедливым способом разделения товарного набора между экономическими индивидами, а затем воспользуемся нашим пониманием экономического анализа, чтобы исследовать то, что подразумевается указанным способом раздела товаров.

Допустим, вам дали какое-то количество товаров, чтобы вы справедливо разделили его между n людьми, в равной степени этого заслуживающими. Как бы вы это сделали? Можно с уверенностью сказать, что, решая эту задачу, большинство людей разделило бы товары поровну между n индивидами. Как еще можно поступить, учитывая, что согласно гипотезе они заслуживают получения товаров в равной степени?

Что привлекает в этой идее разделения товаров поровну? Одна из привлекательных черт такого разделения — его симметричность. Каждый индивид получает одинаковый товарный набор, ни один индивид не претендует на получение товарного набора другого, поскольку все владеют одними и теми же вещами.

К сожалению, разделение поровну не обязательно является эффективным по Парето. Если вкусы индивидов различны, как правило, после такого разделения они захотят вступить между собой в обменные сделки. Предположим, что такой обмен происходит, и в результате него мы попадаем в точку распределения, эффективного по Парето.

Возникает вопрос: является ли это распределение, эффективное по Парето, по-прежнему справедливым в каком-либо смысле? Сохраняется ли в результате обмена, имевшего исходным пунктом разделение товаров поровну, что-то от симметрии точки начального распределения?

На этот вопрос надо ответить: необязательно. Рассмотрим следующий пример. Перед нами трое разных людей A, B и C: у A и B вкусы одинаковы, а вкусы C отличны от вкусов A и B. Мы начинаем движение из точки разделения товаров поровну и предполагаем, что A и C вступают между собой в обмен. В результате этого их благосостояние, как правило, повышается. Теперь B, у которого не было возможности вступить в обмен с C, завидует A — иными словами, он предпочел бы иметь вместо своего набора набор индивида A. Несмотря на то, что A и B начинали при одном и том же распределении, A был более удачлив в обмене, и это разрушило симметрию первоначального распределения.

Сказанное означает, что в результате произвольного обмена, осуществляемого после разделения товаров поровну, не обязательно сохраняется симметрия начального равного распределения. Вполне можно было бы поставить вопрос и так: а существует ли вообще какое-либо распределение, при котором данная симметрия сохраняется? Имеется ли какой-либо способ получить распределение, которое было бы одновременно и эффективным по Парето, и равноправным?

30.6. Зависть и справедливость

Теперь попробуем формализовать некоторые из этих идей. Что мы подразумеваем под симметричным или, во всяком случае, равноправным распределением? Одним из возможных наборов определений является следующий.

Мы говорим, что распределение является равноправным, если ни один из индивидов не предпочитает товарный набор другого индивида своему собственному. Если какой-либо индивид i предпочитает своему собственному набору товарный набор какого-то другого индивида j, то мы говорим, что i завидует j. Наконец, если распределение является одновременно равноправным и эффективным по Парето, то мы говорим, что это справедливое распределение.

Имеются способы формализации вышеупомянутой идеи симметрии. Распределение в соответствии с принципом равного разделения товаров обладает тем свойством, что ни один из индивидов не завидует какому-либо другому, однако данным свойством обладают и многие другие из имеющихся распределений.

Рассмотрим рис.30.3. Чтобы определить, является ли какое-либо распределение равноправным, достаточно посмотреть на то распределение, к которому приводит обмен наборами между индивидами. Если распределение, полученное в результате такого обмена, лежит "под" кривой безразличия каждого индивида, проходящей через первоначальное распределение, то первоначальное распределение является равноправным. ("Под" здесь означает "под" с точки зрения каждого индивида; с нашей же точки зрения, распределение, полученное в результате такого обмена, должно лежать между двумя кривыми безразличия.)

Обратите внимание также на то, что распределение на рис.30.3 еще и эффективно по Парето. Поэтому оно является не только равноправным в том смысле, в котором данный термин был нами определен, но и эффективным. Согласно нашему определению это справедливое распределение. Является ли такого рода распределение счастливой случайностью, или же справедливые распределения обычно существуют?

 

 

Справедливые распределения. Справедливое распределение в ящике Эджуорта. Каждый индивид предпочитает справедливое распределение распределению, полученному в результате обмена индивидов первоначальными наборами.

Рис. 30.3

 

Оказывается, справедливые распределения, как правило, существуют, и имеется легкий способ убедиться в том, что это действительно так. Начнем движение в той же точке, что и в предыдущем параграфе, где речь шла о распределении по принципу разделения товаров поровну и рассматривался обмен между индивидами, перемещающий их в точку распределения, эффективного по Парето. Вместо того чтобы воспользоваться просто любым старым способом обмена, воспользуемся особым механизмом конкурентного рынка. Этот механизм переместит нас в точку нового распределения, в которой каждый индивид выбирает лучший товарный набор, который может себе позволить при равновесных ценах (p₁, p₂), и, как известно из гл.28, такое распределение должно быть эффективным по Парето.

Но является ли данное распределение по-прежнему равноправным? Допустим, что это не так. Предположим, что один из потребителей, скажем, потребитель A, завидует потребителю B. Это означает, что A предпочел бы иметь в своем собственном товарном наборе то, что имеет B. В условных обозначениях это записывается так:

 

(,) < A (,).

 

Но, если A предпочитает набор потребителя B своему собственному и если его собственный набор — лучший набор, который он может себе позволить при ценах (p₁, p₂), это означает, что набор потребителя B должен стоить больше, чем A может позволить себе заплатить. В условных обозначениях

 

p₁ + p₂ < p₁ + p₂.

 

Но это противоречие! Ведь согласно гипотезе A и B поначалу имели совершенно одинаковые наборы, так как начали обмен из точки разделения товаров поровну. Если A не может себе позволить купить набор B, то и B не может себе этого позволить.

Поэтому можно заключить, что при данных обстоятельствах A никак не может завидовать B. Конкурентное равновесие, к которому мы приходим в результате обмена, начатого из точки разделения товаров поровну, должно быть справедливым распределением. Таким образом, рыночный механизм сохраняет некоторые виды справедливости: если первоначальное распределение представляет собой разделение товаров поровну, то конечное распределение должно быть справедливым.

Краткие выводы

1.    Теорема невозможности Эрроу показывает, что не существует идеального способа агрегировать индивидуальные предпочтения в общественные.

2.    Тем не менее экономисты часто используют функции благосостояния того или иного вида для представления этических суждений в отношении распределений.

3.    До тех пор пока функция благосостояния является возрастающей фун-кцией полезности каждого индивида, точка максимума благосостояния будет эффективной по Парето. Более того, каждое распределение, эффек-тивное по Парето, можно представлять максимизирующим какую-либо функцию благосостояния.

4.    Идея справедливых распределений дает альтернативный способ выне-сения этических суждений о распределении. Эта идея подчеркивает идею симметричного распределения.

5.    Даже когда первоначальное распределение является симметричным, произвольные методы обмена не всегда приводят к справедливому распре-делению. Однако оказывается, что рыночный механизм способен приво-дить к справедливому распределению.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1.    Предположим, мы говорим, что распределение x общественно пред-почитается распределению y только в том случае, если каждый пред-почитает распределение x распределению y. (Иногда это называют ранжи-рованием по Парето, так как данное ранжирование тесно связано с идеей эффективности по Парето.) Каков недостаток данного подхода, если пользоваться им как правилом принятия общественных решений?

2.    Роулсианская функция благосостояния учитывает только благосостояние того индивида, у которого оно ниже всех. Функцию, являющуюся проти-воположностью роулсианской, можно было бы назвать "ницшеанской" функцией благосостояния — функцией благосостояния, согласно которой ценность распределения зависит лишь от благосостояния индивида с наивысшим уровнем благосостояния. Каков мог быть математический вид ницшеанской функции благосостояния?

3.    Предположим, что множество возможных полезностей — выпуклое и что потребителей заботит только собственное потребление. Какого рода рас-пределения представляют точки максимума благосостояния для ниц-шеанской функции благосостояния?

4.    Допустим, что распределение является эффективным по Парето и что каждого индивида заботит только его собственное потребление. Докажите, что должен существовать индивид, который никому не завидует в смысле, описанном в тексте данной главы. (Над этой головоломкой придется поразмыслить, но она того стоит.)

5.    Способность устанавливать последовательность голосования часто может служить мощным орудием воздействия на итоги голосования. Приняв в качестве предпосылки, что общественные предпочтения определяются голосованием по принципу большинства по каждой паре альтернатив и что предпочтения, приведенные в табл.30.1, остаются в силе, проде-монстрируйте этот факт, разработав такую последовательность голосо-вания, в результате которой победителем оказывается распределение y. Найдите такую последовательность голосования, при которой победи-телем оказывается z. Каким свойством общественных предпочтений объя-сняется то, что способность устанавливать последовательность голосо-вания обладает таким воздействием на его итоги?

ПРИЛОЖЕНИЕ

В данном приложении мы рассмотрим задачу максимизации благосостояния, в которой используется индивидуалистическая функция благосостояния. Воспользовавшись для описания границы производственных возможностей функцией трансформации, описанной в гл.29, мы записываем задачу максимизации благосостояния в виде

 

 max W(u_A(,), u_B(,))

                                                                            

 

при T(X¹, X²) = 0,

 

где X¹ и X² обозначают общие произведенные и потребленные количества товаров 1 и 2.

Функция Лагранжа для этой задачи есть

 

L = W(u_A(,), u_B(,)) — λT(X¹, X²) — 0).

 

Взяв производную данной функции по каждой из выбираемых переменных, мы получаем следующие условия первого порядка:

 

—

 

—

 

—

 

—.

 

Произведя преобразования и поделив первое уравнение на второе и третье — на четвертое, мы получаем

 

 

 .

 

Обратите внимание на то, что это те самые уравнения, которые мы видели в приложении к гл.29. Таким образом, задача максимизации благосостояния дает нам те же условия первого порядка, что и задача эффективности по Парето.

Очевидно, это не случайно. Согласно проведенным в тексте рассуждениям, распределение, являющееся результатом максимизации функции благосостояния Бергсона—Самуэльсона, эффективно по Парето, и каждое распределение, эффективное по Парето, максимизирует некоторую функцию полезности. Поэтому точки максимума благосостояния и распределения, эффективные по Парето, должны удовлетворять одинаковым условиям первого порядка.