Глава 4 - ПОЛЕЗНОСТЬ

 

 

В Викторианскую эпоху философы и экономисты беспечно говорили о "полезности" как о показателе общего благосостояния человека. Полезность представлялась им численной мерой благоденствия индивида. Исходя из этой идеи естественным было полагать, что потребители осуществляют выбор таким образом, чтобы максимизировать свою полезность, т.е. достичь как можно большего удовлетворения.

Беда в том, что эти экономисты классического толка в действительности никогда не приводили описания способа измерения полезности. Как мы должны определять "количество" полезности, связываемое с различными вариантами выбора? Можно ли утверждать, что полезность для одного человека — та же, что и для другого? Что может означать утверждение:" Еще одна плитка шоколада принесет мне вдвое большую полезность, чем еще одна морковь?" Имеет ли понятие "полезность" какое-либо самостоятельное значение, отличное от "того, что люди максимизируют"?

Из-за этих проблем с толкованием понятий экономисты отказались от устаревшей точки зрения на полезность как на меру благоденствия. Вместо этого теория поведения потребителей была полностью переформулирована с позиций потребительских предпочтений, и теперь полезность рассматривают лишь как способ описания предпочтений.

Постепенно экономисты пришли к признанию того, что применительно к потребительскому выбору полезность важна только в том смысле, обладает ли один набор благ более высокой полезностью, чем другой, а насколько более высокой — значения на самом деле не имеет. Первоначально предпочтения определялись в терминах полезности: утверждение, что набор (x₁, x₂) предпочитается набору (y₁, y₂) означало, что набор x обладает большей полезностью, чем набор y. Теперь же мы склонны рассуждать наоборот. Описание предпочтений потребителя существенно полезно для анализа потребительского выбора, полезность же — это просто способ описания предпочтений.

Функция полезности — это такой способ приписывания каждому возможному потребительскому набору некоего численного значения, при котором более предпочитаемым наборам приписываются бóльшие численные значения, чем менее предпочитаемым. Иными словами, набор (x₁, x₂) предпочитается набору (y₁, y₂) в том и только в том случае, если полезность набора (x₁, x₂) больше полезности набора (y₁, y₂): на языке условных обозначений (x₁, x₂) f (y₁, y₂) , если и только если, u(x₁, x₂) > u(y₁, y₂).

Единственный смысл приписывания полезности состоит в том, что с его помощью ранжируются товарные наборы. Значение, принимаемое функцией полезности, важно только с точки зрения ранжирования различных потребительских наборов; величина разности полезности двух любых потребительских наборов не существенна. Вследствие указанного акцентирования расположения товарных наборов в определенном порядке полезность этого рода именуется порядковой полезностью.

Рассмотрим, например, табл. 4.1, в которой показано несколько разных способов приписывания полезностей трем товарным наборам, одинаково ранжирующих эти наборы. В данном примере потребитель предпочитает набор A набору B, а набор B — набору С. Все указанные способы приписывания полезностей представляют собой функции полезности, годные для описания одних и тех же предпочтений, потому что все эти функции обладают тем свойством, что набору A поставлено в соответствие бóльшее число, чем набору B, которому в свою очередь поставлено в соответствие бóльшее число, чем набору C.

 

Табл. 4.1

Разные способы приписывания полезностей

 

 

Поскольку важен лишь порядок расположения наборов, не может существовать единственного способа приписывания полезностей товарным наборам. Если может быть найден один способ приписывания товарным наборам значений полезности, то можно найти и бесчисленное множество способов сделать это. Если u (x₁, x₂) — один из способов приписывания значений полезности наборам (x₁, x₂), то умножение u (x₁, x₂) на 2 (или на любое другое положительное число) — в свою очередь столь же подходящий способ приписывания им полезностей.

Умножение на 2 — это пример монотонного преобразования. Это такой способ превращения одного множества чисел в другое, при котором порядок чисел сохраняется.

Обычно мы представляем монотонное преобразование функцией f (u), превращающей каждое число u в некоторое другое число f (u) таким способом, при котором порядок чисел сохраняется в том смысле, что u₁ > u₂ подразумевает f (u₁) > f (u₂). Монотонное преобразование и монотонная функция по существу одно и то же.

Примерами монотонных преобразований являются умножение на положительное число (например, f (u) = 3u), прибавление любого числа (напри-мер, f (u) = u + 17), возведение u в нечетную степень (например, f (u) = u³) и т.д.

Скорость изменения f (u) по мере изменения u может быть измерена изменением f при переходе от одного значения u к другому, отнесенным к изменению u:

 

 

При монотонном преобразовании у f (u₂) – f (u₁) всегда тот же знак, что и u₂ – u₁. Следовательно, скорость изменения монотонной функции всегда положительна. Это означает, что график монотонной функции, как показано на рис.4.1A, всегда имеет положительный наклон.

 

 

A                                                         B

 

Положительное монотонное преобразование. На рис.A показана монотонная функция — функция, которая все время возрастает. На рис.В показана функция, не являющаяся монотонной, поскольку она то возрастает, то убывает.

Рис. 4.1

Если f (u) есть любое монотонное преобразование функции полезности, представляющее какие-либо конкретные предпочтения, то f (u(x₁, x₂)) — это тоже функция полезности, представляющая те же самые предпочтения.

Почему? Доводы в пользу этого даны следующими тремя утверждениями:

 

1.    Сказать, что u(x₁, x₂) представляет некие конкретные предпочтения, означает, что u(x₁, x₂) > u(y₁, y₂), если и только если (x₁, x₂) f (y₁, y₂).

2.    Но если f(u) есть монотонное преобразование, то u(x₁, x₂) > u(y₁, y₂), если и только если f(u(x₁, x₂)) > f(u(y₁, y₂)).

3.    Следовательно, f(u(x₁, x₂)) > f(u(y₁, y₂)), если и только если (x₁, x₂) f (y₁, y₂), так что функция f(u) представляет предпочтения совершенно таким же образом, как и исходная функция полезности u(x₁, x₂).

 

Подытожим эти рассуждения, сформулировав следующий принцип: монотонное преобразование функции полезности есть функция полезности, представляющая те же самые предпочтения, что и исходная функция полезности.

Геометрически функция полезности представляет собой способ обозначения кривых безразличия. Поскольку каждый набор, находящийся на какой-либо кривой безразличия, должен иметь одинаковую полезность, функция полезности есть такой способ приписывания различным кривым безразличия неких численных значений, при котором более высоким кривым безразличия приписываются бóльшие численные значения. С этой точки зрения, монотонное преобразование — всего лишь переименовывание кривых безразличия. До тех пор, пока кривые безразличия, на которых находятся более предпочитаемые наборы, обозначаются бóльшими числами, чем кривые безразличия, на которых находятся менее предпочитаемые наборы, подобное переименовывание будет представлять те же самые предпочтения.

4.1. Количественная полезность

Существует ряд теорий полезности, в которых величине полезности придается значение. Эти теории известны как количественные теории полезности. В количественной теории полезности предполагается, что величина разности значений полезности для двух наборов благ имеет определенную значимость.

Нам известно, как определить, предпочитает ли данный индивид один товарный набор другому: мы просто предложим ему (или ей) выбрать один из двух наборов и посмотрим, какой набор выбран. Следовательно, мы знаем, как приписывать двум товарным наборам порядковую полезность: достаточно приписать выбранному набору более высокую полезность, чем отвергнутому. Любое приписывание такого рода явится функцией полезности. Таким образом, у нас имеется рабочий критерий, позволяющий определить, имеет ли для данного индивида один набор бóльшую полезность, чем другой.

Но как можно утверждать, что один набор нравится индивиду в два раза больше другого? На основании чего вы сами можете определить, нравится ли вам один набор вдвое больше другого?

Можно было бы предложить для такого рода приписывания значений полезности разные исходные определения: скажем, "один набор нравится мне вдвое больше другого, если я готов заплатить за него вдвое больше". Или: “Один набор нравится мне вдвое больше другого, если, чтобы его получить, я готов пробежать вдвое более длинную дистанцию, или прождать вдвое дольше, или сыграть на него по удвоенной ставке.”

Ничего неправильного ни в одном из этих определений нет: на основе каждого из них можно было бы построить способ приписывания наборам уровней полезности, при котором приписываемые численные значения полезности имели бы некий рабочий смысл. Но и правильного в этих определениях немного. Хотя каждое из них представляет собой возможную интерпретацию того, что может означать утверждение "хотеть какую-то вещь вдвое больше другой", ни одно из них не кажется особенно убедительным.

Но даже если бы нам удалось найти способ приписывания полезности численных значений, который показался бы нам особенно удачным, какую пользу он мог бы принести при описании потребительского выбора? Чтобы утверждать, будет ли выбран тот товарный набор или другой, нам надо знать лишь, какой из них предпочитается — какой имеет большую полезность. Знание того, насколько эта полезность больше, ничего не добавляет к нашему описанию выбора. Поскольку количественная полезность для описания потребительского выбора не требуется и поскольку бесспорного способа приписывания количественных полезностей так или иначе не существует, будем придерживаться рамок чисто порядковой полезности.

4.2. Построение функции полезности

Однако уверены ли мы в том, что вообще существует какой-либо способ приписывания товарным наборам порядковых полезностей? Допустим, имеется некое ранжирование предпочтений. Всегда ли можно найти функцию полезности, располагающую товарные наборы в том же порядке, в каком располагаются эти предпочтения? Существует ли функция полезности, описывающая любое рациональное ранжирование предпочтений?

Не все виды предпочтений можно представить с помощью функции полезности. Предположим, например, что предпочтения некоего индивида нетранзитивны, так что A f B f C f A. Тогда функция полезности, соответствующая этим предпочтениям, должна была бы состоять из чисел u(A), u(B) и u(C) таких, что u(A) > u(B) > u(C) > u(A). Но это невозможно.

Если, однако, исключить из рассмотрения аномальные случаи вроде нетранзитивных предпочтений, то окажется, что практически всегда можно найти некую функцию полезности, которая бы представляла данные предпочтения. Поясним построение функции полезности наглядными примерами, рассмотрев один из них здесь, а другой — в гл. 14.

Допустим, что нам дана карта кривых безразличия, такая, как на рис. 4.2. Мы знаем, что функция полезности есть способ обозначения кривых безразличия, при котором более высоким кривым безразличия ставятся в соответствие бóльшие числа. Как это можно сделать?

 

 

Рис. 4.2

Построение функции полезности на основе кривых безразличия. Нарисуйте диагональную линию и обозначьте каждую кривую безразличия числом, соответствующим расстоянию от нее до начала координат, измеренному вдоль этой линии.

 

Один из простых способов — провести диагональ, как показано на рисунке, и обозначить каждую кривую безразличия числом, соответствующим ее расстоянию от начала координат, измеренному вдоль этой диагонали.

Откуда мы знаем, что в результате этого получим функцию полезности? Нетрудно заметить, что если предпочтения монотонны, то луч, проходящий через начало координат, должен пересечь каждую кривую безразличия в точности один раз. Таким образом, каждый набор благ получает свое обозначение, и наборы, находящиеся на более высоких кривых безразличия, обозначаются бóльшими числами, а только это и требуется, чтобы построить функцию полезности.

Это дает нам один из способов обозначения кривых безразличия по крайней мере для случая монотонных предпочтений. Данный способ не всегда будет самым подходящим для любого заданного случая, но он показывает достаточно общий характер идеи, заложенной в функции порядковой полезности: "разумные" предпочтения почти любого вида можно представить с помощью функции полезности.

4.3. Некоторые примеры                                                                  функций полезности

В гл. 3 мы рассмотрели несколько примеров предпочтений и представляющих их кривых безразличия. Эти предпочтения можно представить также с помощью функций полезности. Если дана функция полезности u(x₁, x₂), нарисовать соответствующие кривые безразличия сравнительно несложно: надо нанести на график все точки (x₁, x₂), для которых u(x₁, x₂) постоянна. В математике множество всех (x₁, x₂), для которых u(x₁, x₂) постоянна, называется упорядоченным множеством. Для каждого другого значения константы мы получаем другую кривую безразличия.

 

 

ПРИМЕР: Кривые безразличия,

получаемые на основе функции полезности

 

Предположим, что функция полезности имеет вид: u(x₁, x₂) = x₁x₂. Как выглядят тогда кривые безразличия? Нам известно, что типичная кривая безразличия есть просто множество всех x₁ и x₂, таких, что k = x₁x₂ для некой константы k. Выразив x₂ как функцию от x₁, мы видим, что типичной кривой безразличия в данном случае будет соответствовать формула:

 

 

Эта кривая изображена на рис. 4.3 для k = 1, 2, 3...

 

 

Кривые безразличия. Кривые безразличия k = x1x2 для любых значений k.

Рис. 4.3

Рассмотрим еще один пример. Допустим, нам задана функция полезности вида Как выглядят ее кривые безразличия? Согласно стандартным правилам алгебры:

 

Иными словами, функция полезности v(x₁, x₂) есть просто квадрат функции полезности u(x₁, x₂). Поскольку u(x₁, x₂)  не может быть отрицательной величиной, отсюда следует, что v(x₁, x₂)  является монотонным преобразованием исходной функции полезности u(x₁, x₂). Это означает, что функции полезности должны соответствовать кривые безразличия в точности такой же формы, как у представленных на рис.4.3. Обозначения кривых безразличия будут другими — обозначения 1, 2, 3 теперь станут обозначениями 1, 4, 9, ..., но множество наборов, имеющее полезность v(x₁, x₂) = 9, в точности такое же, что и множество наборов, имеющее полезность v(x₁, x₂) = 3. Следовательно, v(x₁, x₂) описывает в точности те же предпочтения, что и u(x₁, x₂), поскольку она ранжирует все наборы таким же образом.

Идти в обратном направлении — находить функцию полезности, представляющую определенные кривые безразличия, — несколько сложнее. Для этого можно прибегнуть к двум способам. Первый способ — математический. Исходя из заданных кривых безразличия мы хотим найти функцию, которая принимала бы постоянные значения вдоль каждой кривой безразличия и приписывала бы бóльшие численные значения более высоким кривым безразличия.

Второй способ — несколько более интуитивный. Исходя из описания предпочтений, мы пытаемся представить себе, что именно стремится максимизировать потребитель — какая комбинация товаров описывает его потребительский выбор. Хотя на данной стадии рассмотрения этот способ может показаться несколько неясным, после обсуждения нескольких примеров его смысл станет понятнее.

Совершенные субституты

Помните пример с красными и синими карандашами? Для потребителя имело значение только общее число карандашей. Таким образом, вполне естественно измерять полезность общим числом карандашей. Поэтому предварительно выберем функцию полезности вида u(x₁, x₂) = x₁ + x₂. Подойдет ли она? Достаточно задать себе два вопроса: принимает ли эта функция полезности постоянные значения при перемещении вдоль кривых безразличия? Приписывает ли она более высокие численные значения более предпочитаемым наборам? Поскольку на оба эти вопроса следует дать утвердительный ответ, перед нами — функция полезности.

Разумеется, это не единственная функция полезности, которую мы могли бы использовать в данном случае. Можно было бы также использовать квадрат числа карандашей. Таким образом, функция полезности тоже представляет предпочтения для случая совершенных субститутов, как, впрочем, и любая другая функция, являющаяся монотонным преобразованием функции u(x₁, x₂).

Что, если потребитель хочет заместить товар 1 товаром 2 в соотношении, отличном от соотношения "один к одному"? Предположим, например, что потребителю потребуются две единицы товара 2, чтобы компенсировать отказ от одной единицы товара 1. Это означает, что товар 1 вдвое ценнее для потребителя, чем товар 2. Функция полезности, следовательно, принимает вид u(x₁, x₂) = 2x₁ + x₂. Заметьте, что эта функция полезности дает кривые безразличия с наклоном –2.

Вообще предпочтения в отношении совершенных субститутов можно представить функцией вида

 

u(x₁, x₂) = ax₁ + bx₂.

 

Здесь a и b — некие положительные числа, измеряющие "ценность" товаров 1 и 2 для потребителя. Обратите внимание на то, что наклон типичной кривой безразличия задан — a/b.

Совершенные комплементы

Это случай левого и правого башмаков. При предпочтениях такого рода потребителя заботит только число имеющихся у него пар обуви, поэтому естественно выбрать число пар обуви в качестве функции полезности. Число имеющихся у вас полных пар обуви есть минимум числа имеющихся у вас правых x₁ и левых x₂ башмаков. В соответствии с этим функция полезности для совершенных комплементов принимает вид u(x₁, x₂) = min{x₁, x₂}.

Чтобы проверить, действительно ли эта функция полезности подходит в данном случае, выберем, скажем, товарный набор (10, 10). Добавив еще одну единицу товара 1, получаем набор (11, 10), потребляя который, мы должны были бы остаться на той же самой кривой безразличия. Так ли это? Да, поскольку min{10, 10} = min{11, 10} = 10.

Итак, u(x₁, x₂) = min{x₁, x₂} — функция полезности, с помощью которой можно описать совершенные комплементы. Как обычно, для этого подойдет и любая функция, являющаяся монотонным преобразованием данной .

Что можно сказать о случае, когда потребитель хочет потреблять товары не в пропорции "один к одному"? Например, как насчет потребителя, всегда потребляющего 2 ложки сахара с чашкой чая? Если x₁ — число имеющихся чашек чая, а x₂ — число имеющихся ложек сахара, то число должным образом чашек подслащенного чая составит

Это несколько сложно для понимания, так что немного поразмыслим об этом. Ясно, что если число чашек чая будет больше половины числа ложек сахара, то мы не сможем положить в каждую чашку чая по 2 ложки сахара. В этом случае у нас в итоге окажется только  чашек должным образом подслащенного чая. (Чтобы убедиться в этом, подставьте вместо x₁ и x₂ какие-нибудь числа.)

Разумеется, те же самые предпочтения могут быть описаны любой функцией, которая является монотонным преобразованием указанной функции полезности. Например, можно произвести умножение на 2, чтобы избавиться от дроби. В результате этого получим функцию полезности u(x₁, x₂) = min{2x₁, x₂}.

Вообще, функция полезности, описывающая предпочтения для случая совершенных комплементов, имеет вид

 

u(x₁, x₂) = min{ax₁, bx₂},

 

где a и b — положительные числа, показывающие пропорции, в которых потребляются товары.

Квазилинейные предпочтения

Перед нами форма кривых безразличия, с которой мы раньше не сталкивались. Предположим, что кривые безразличия потребителя представляют собой, как на рис. 4.4, вертикальные смещения одной кривой по отношению к другой. Это означает, что все кривые безразличия являются просто вертикально "смещенными" копиями одной и той же кривой безразличия. Отсюда следует, что уравнение кривой безразличия принимает вид x₂ = k – v(x₁), где k — константа, имеющая для каждой кривой безразличия свои значения. Чем больше значения k, тем выше располагаются кривые безразличия. (Знак "минус" здесь — не более, чем условность; почему он удобен, мы увидим ниже.)

В этой ситуации вполне естественным является ранжирование кривых безразличия по k, или по "высоте" вдоль вертикальной оси. Выразив k и приравняв его к полезности, получаем

 

u(x₁, x₂) = k = v(x₁) + x₂.

 

В данном случае функция полезности линейна по товару 2, но нелинейна (возможно) по товару 1; отсюда и название квазилинейная, означающее частично линейную полезность. Конкретные примеры квазилинейной функции полезности: или u(x₁, x₂) = lnx₁ + x₂. Квазилинейные функции полезности не особенно реалистичны, но с ними легко работать, в чем мы убедимся на нескольких примерах, рассматриваемых далее в этой книге.

Предпочтения Кобба — Дугласа

Другая широко используемая функция полезности — функция полезности Кобба — Дугласа:

где c и d — положительные числа, описывающие предпочтения потребителя.

 

Квазилинейные предпочтения. Каждая кривая безразличия есть вертикально смещенная копия одной-единственной кривой безразличия.

Рис. 4.4

 

Функция полезности Кобба — Дугласа будет полезна нам при рассмотрении нескольких примеров. Предпочтения, представленные функцией полезности Кобба — Дугласа, в общем виде характеризуются формой кривых безразличия, изображенной на рис. 4.5. На рис.4.5A изображены кривые безразличия для с = 1/2, d = 1/2, на рис.4.5B соответственно для c = 1/5, d = 4/5. Обратите внимание на то, что разные значения параметров c и d обусловливают различие форм кривых безразличия.

 

 

               A   c = 1/2 d = 1/2                                   B   c = 1/5 d = 4/5

 

Кривые безразличия Кобба — Дугласа. На рис.A показан случай c = 1/2, d = 1/2, а на рис.B — случай c = 1/5, d = 4/5.

Рис. 4.5

Кривые безразличия Кобба — Дугласа выглядят в точности так же, как симпатичные выпуклые к началу координат монотонные кривые безразличия, которые в гл.3 мы называли стандартными кривыми безразличия. Предпочтения Кобба — Дугласа дают нам типовой пример таких стандартных с виду кривых безразличия, и, действительно, описывающая их формула — это, пожалуй, простейшее алгебраическое выражение, соответствующее стандартным предпочтениям. Предпочтения Кобба — Дугласа окажутся весьма полезными для представления на алгебраических примерах некоторых экономических идей, которые мы рассмотрим позднее.

Разумеется, те же самые предпочтения могут быть представлены и с помощью функции, являющейся монотонным преобразованием функции полезности Кобба — Дугласа, и пару примеров таких преобразований стоит рассмотреть.

Во-первых, если взять натуральный логарифм полезности, то произведение членов превратится в сумму, так что:

 

 

Кривые безразличия для этой функции полезности будут выглядеть совершенно так же, как и для первой функции Кобба — Дугласа, поскольку логарифмирование — это монотонное преобразование. (Краткий обзор натуральных логарифмов вы найдете в математическом приложении в конце книги.)

В качестве второго примера предположим, что вначале у нас была функция Кобба — Дугласа вида

 

 

Возведя полезность в степень 1/(c + d), получим:

 

Определим новый член:

 

 

Теперь можно записать нашу функцию полезности как

 

 

Это означает, что всегда можно произвести такое монотонное преобразование функции полезности Кобба — Дугласа, при котором сумма показателей степени станет равной 1. Позднее станет ясно, что этот факт может иметь полезную интерпретацию.

Функция полезности Кобба — Дугласа может быть представлена различными способами; следует научиться их распознавать, так как данное семейство предпочтений очень полезно для использования в качестве примеров.

4.4. Предельная полезность

Перед нами потребитель, потребляющий некий товарный набор (x₁, x₂). Как изменится полезность для этого потребителя, если дать ему чуть больше товара 1? Это отношение изменений называется предельной полезностью товара 1. Обозначим ее MU₁ и будем представлять ее как отношение

 

 

показывающее изменение полезности (DU) в связи с малым изменением количества товара 1 (Dx₁). Обратите внимание на то, что количество товара 2 в этих расчетах считается постоянным.

Данным определением подразумевается, что для расчета изменения полезности в связи с малым изменением потребления товара 1 мы можем просто умножить изменение потребления на предельную полезность товара:

 

DU = MU₁Dx₁.

 

Подобным же образом определяется и предельная полезность товара 2:

 

 

Обратите внимание на то, что, подсчитывая предельную полезность товара 2, мы сохраняем количество товара 1 постоянным. Можно подсчитать изменение полезности в связи с изменением потребления товара 2 по формуле

 

DU = MU₂Dx₂.

 

Важно понять, что величина предельной полезности зависит от величины полезности. Следовательно, она зависит от конкретного способа, который мы выбираем для измерения полезности. Если бы мы умножили полезность на 2, предельная полезность также оказалась бы умноженной на 2. Мы по-прежнему располагали бы во всех отношениях подходящей функцией полезности, имеющей, однако, просто другой масштаб.

Сказанное означает, что сама по себе предельная полезность не зависит от поведения потребителя. Можем ли мы каким-то образом рассчитать предельную полезность исходя из потребительского выбора? Не можем. Потребительский выбор лишь выявляет информацию о том, как потребитель ранжирует разные товарные наборы. Предельная полезность зависит от конкретной функции полезности, используемой для отображения ранжирования предпочтений, и ее величина не имеет особого значения. Оказывается, однако, как мы увидим далее, предельную полезность можно использовать для подсчета чего-то, что лишено поведенческого содержания.

4.5. Предельная полезность и MRS

Функцию полезности u(x₁, x₂) можно использовать для измерения предельной нормы замещения (MRS), определение которой дано в гл.3. Вспомним, что MRS измеряет наклон кривой безразличия в точке, соответствующей данному товарному набору ; ее можно трактовать как пропорцию, в которой потребитель хотел бы заместить товар 2 малым количеством товара 1.

Эта трактовка дает нам простой способ подсчета MRS. Рассмотрим те изменения потребления каждого товара (Dx₁, Dx₂), при которых полезность остается постоянной, т.е. те изменения потребления, при которых мы перемещаемся вдоль данной кривой безразличия. В этом случае должно соблюдаться равенство

 

MU₁Dx₁ + MU₂Dx₂ = DU = 0.

 

Выразив из этого равенства наклон кривой безразличия, получим

 

                                                                                      (4.1)

 

(Обратите внимание на то, что в левой части уравнения у нас стоит 2 в числителе и 1 в знаменателе, а в правой части уравнения — наоборот. Не перепутайте!)

Алгебраический знак MRS отрицателен: чтобы получить больше товара 1, сохранив при этом ту же самую полезность, вам придется примириться с меньшим потреблением товара 2. Очень утомительно, однако, все время следить за тем, чтобы не потерять этот докучливый знак "минус", поэтому экономисты часто говорят об абсолютной величине MRS, т.е. об MRS как о положительном числе. Мы будем придерживаться этой условности до тех пор, пока из-за этого не возникнет путаницы.

Отметим интересный момент в отношении подсчетов MRS: MRS можно измерить, наблюдая фактическое поведение индивида: мы находим, как описано в гл. 3, ту пропорцию обмена благ, при которой он просто хочет остаться в данной точке кривой безразличия.

Функция полезности и, следовательно, функция предельной полезности определяются не единственным образом. Любое монотонное преобразование какой-либо функции полезности даст еще одну, в равной мере корректную, функцию полезности. Так, например, при умножении полезности на 2, предельная полезность умножается на 2. Таким образом, значение функции предельной полезности зависит от выбора функции полезности, являющегося произвольным. Оно зависит не от одного лишь поведения как такового, а от функции полезности, используемой для описания этого поведения.

Но отношение предельных полезностей дает величину наблюдаемую, а именно предельную норму замещения. Отношение предельных полезностей не зависит от конкретного преобразования выбранной функции полезности. Посмотрите, что произойдет, если умножить полезность на 2. MRS примет вид

 

 

"Двойки" просто сокращаются, и MRS остается без изменений.

То же самое происходит в случае любого монотонного преобразования функции полезности. Произвести монотонное преобразование означает просто переобозначить кривые безразличия, а в описанном выше расчете MRS речь идет о движении вдоль данной кривой безразличия. Хотя предельные полезности в ходе монотонных преобразований и изменяются, отношение предельных полезностей не зависит от конкретного способа, избранного для представления предпочтений.

4.6. Полезность регулярных                                                         транспортных поездок

Функции полезности представляют собой в своей основе способы описания потребительского выбора: если выбран товарный набор X при том, что товарный набор Y является доступным, то X должен обладать большей полезностью, чем Y. Изучая выбор, сделанный потребителями, можно вывести оценочную функцию полезности, которая адекватно описала бы их поведение.

Эта идея получила широкое применение в области экономики транспорта при изучении поведения потребителей в отношении регулярных транспортных поездок. В большинстве крупных городов у лиц, совершающих регулярные транспортные поездки, имеется выбор: пользоваться общественным транспортом или ездить на работу на машине. Каждую из этих альтернатив можно рассматривать как набор различных характеристик: времени нахождения в пути, времени ожидания, наличных издержек, комфорта, удобства и т.п. Обозначим продолжительность времени нахождения в пути для каждого рода поездки через x₁, продолжительность времени ожидания для каждого рода поездки через x₂ и т.д.

Если (x₁, x₂, ..., x_n) представляет, скажем, значения n различных характеристик автомобильных поездок, а (y₁, y₂, ..., y_n) — значения характеристик поездок на автобусе, то можно рассмотреть модель, в которой потребитель принимает решение о том, поехать ли ему на машине или на автобусе, исходя из предпочтения одного набора указанных характеристик другому.

Говоря более конкретно, предположим, что предпочтения среднего потребителя в отношении указанных характеристик могут быть представлены функцией полезности вида

 

U(x₁, x₂, ..., x_n) = b₁x₁ + b₂x₂ + ... + b_nx_n,

 

где коэффициенты b₁, b₂ и так далее — неизвестные параметры. Разумеется, любое монотонное преобразование данной функции полезности не хуже описало бы потребительский выбор, однако с точки зрения статистики, работать с линейной функцией особенно легко.

Предположим теперь, что перед нами ряд сходных между собой потребителей, которые выбирают, поехать на автомобиле или на автобусе, основываясь при этом на конкретных данных о продолжительности времени поездок, об издержках и других характеристиках поездок, с которыми они сталкиваются. В статистике имеются технические приемы, которые можно использовать для нахождения значений коэффициентов b_i, при i = 1,..., n, наиболее подходящих для наблюдаемой структуры выбора, произведенного данным множеством потребителей. Эти технические приемы статистики позволяют вывести оценочную функцию полезности для различных способов транспортного передвижения.

В одном из исследований приводится функция полезности вида

 

                             U(TW, TT, C) = –0,147TW – 0,0411TT – 2,24C,                       (4.2)

 

где TW — общее время ходьбы до автобуса или автомобиля или от него,

  TT — общее время поездки в минутах,

    C — общая стоимость поездки в долларах.

 

С помощью оценочной функции полезности, приведенной в книге Доменика и МакФаддена, удалось верно описать выбор между автомобильным и автобусным транспортом для 93% домохозяйств взятой авторами выборки.

Коэффициенты при переменных в уравнении (4.2) показывают удельный вес, приписываемый средним домохозяйством различным характеристикам регулярных поездок на транспорте, т. е. предельную полезность каждой такой характеристики. Отношение одного коэффициента к другому показывает предельную норму замещения одной характеристики другой. Например, отношение предельной полезности времени ходьбы пешком к предельной полезности общей продолжительности поездки указывает на то, что средний потребитель считает время ходьбы пешком примерно в 3 раза более тягостным, чем время поездки. Иными словами, потребитель был бы готов затратить 3 дополнительные минуты на поездку, чтобы сэкономить 1 минуту ходьбы пешком.

Аналогично отношение стоимости поездки к общей продолжительности поездки указывает на выбор среднего потребителя в отношении этих двух переменных. В данном обследовании средний пассажир оценивал минуту времени поездки на транспорте в 0,0411/2,24 = 0,0183 долл. в минуту, что составляет 1,10$ в час. Для сравнения часовая зарплата среднего пассажира в 1967 г. составила около 2,85$ в час.

Такие оценочные функции полезности могут быть очень ценны для определения того, стоит ли осуществлять какие-либо перемены в системе общественного транспорта. Например, в приведенной выше функции полезности одним из важных факторов, объясняющих, чем руководствуются потребители в своем выборе, выступает продолжительность поездки. Городское управление транспортом могло бы при некоторых затратах увеличить число автобусов, чтобы сократить эту общую продолжительность поездки. Но послужит ли дополнительное число пассажиров оправданием возросших затрат?

Исходя из имеющейся функции полезности и выборки потребителей можно сделать прогноз относительно того, какие потребители захотят совершать поездки на автомобиле, а какие предпочтут автобус. Это позволит получить некоторое представление о том, будет ли выручка достаточной для покрытия добавочных издержек.

Кроме того, можно использовать предельную норму замещения для получения представления об оценке каждым потребителем сокращения времени поездок. Как мы видели выше, согласно исследованию Доменика и МакФаддена, средний пассажир в 1967 г. оценивал время поездки по ставке 1,10$ в час. Иными словами, он готов был заплатить около 37 центов, чтобы сократить время поездки на 20 минут. Это число дает нам меру выигрыша в долларах от более своевременного предоставления автобусных услуг. Чтобы определить, стоит ли игра свеч, указанный выигрыш следует сравнить с затратами на это более своевременное предоставление автобусных услуг. Наличие количественной меры выигрыша, безусловно, способствует принятию рациональных решений в области транспортной политики.

 

 

Краткие выводы

 

1.    Функция полезности — это просто способ представить ранжирование предпочтений или выразить его в краткой форме. Численные значения уровней полезности не имеют внутреннего смысла.

2.    Если дана какая-либо функция полезности, то любая функция, являю-щаяся монотонным преобразованием данной, будет представлять те же самые предпочтения.

3.    Предельную норму замещения MRS можно рассчитать, исходя из функции полезности, воспользовавшись формулой MRS = Dx₂/Dx₁ = –MU₁/MU₂.

 

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

 

1.    В тексте говорится, что возведение в нечетную степень представляет собой монотонное преобразование. А что можно сказать о возведении в четную степень? Является ли оно монотонным преобразованием? (Под-сказка: рассмотрите случай f(u) = u².)

2.    Какие из указанных преобразований являются монотонными? 1) u = 2v – 13; 2) u = –1/v²; 3) u = 1/v²; 4) u = lnv; 5) u = –e^-v; 6) u = v²; 7) u = v² для v > 0; 8) u = v² для v < 0.

3.    В тексте утверждается, что в случае монотонных предпочтений диагональная линия, проходящая через начало координат, пересечет каждую кривую безразличия в точности один раз. Можете ли вы дать строгое доказательство этого? (Подсказка: что произошло бы, если бы эта линия пересекла какую-нибудь кривую безразличия дважды?)

4.    Какого рода предпочтения представлены функцией полезности вида ? Что можно сказать в этом смысле о функции полез-ности v(x₁, x₂) = 13x₁ + 13x₂?

5.    Какого рода предпочтения представлены функцией полезности вида ? Является ли функция полезности   монотонным преобразованием функции u(x₁, x₂)?

6.    Рассмотрим функцию полезности . Предпочтения какого рода она представляет? Является ли функция монотонным преобразованием функции u(x₁, x₂)? Является ли функция монотонным преобразованием функции u(x₁, x₂)?

7.    Можете ли вы объяснить, почему проведение монотонного преобра-зования функции полезности не изменяет предельной нормы замещения?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Во-первых, проясним, что понимается под "предельной полезностью". Как и вообще в экономической теории, слово "предельный" подразумевает всего лишь производную. Поэтому предельная полезность блага 1 есть всего лишь

 

 

Обратите внимание на то, что здесь мы применили частную производную, поскольку предельная полезность товара 1 подсчитывается при сохранении количества товара 2 постоянным.

Теперь можно по-иному вывести MRS, чем в тексте, прибегнув для этого к использованию дифференциального исчисления. Сделаем это двумя способами: 1) используя дифференциалы, 2) используя неявные функции.

При первом методе рассмотрим такое изменение (dx₁, dx₂), при котором полезность остается постоянной. Итак, мы хотим, чтобы

 

 

Первый член показывает возрастание полезности в результате малого изменения dx₁, второй — возрастание полезности в результате малого изменения dx₂. Мы хотим выбрать эти изменения таким образом, чтобы совокупное изменение полезности du было равным нулю. Выразим dx₂/dx₁ как

 

что является просто выведенным с применением математического анализа аналогом приведенного в тексте уравнения (4.1).

При втором методе представим себе, что кривая безразличия описывается функцией x₂(x₁). Иначе говоря, для каждого значения x₁ функция x₂(x₁) показывает, сколько нам нужно x₂, чтобы попасть на эту конкретную кривую безразличия. Следовательно, функция x₂(x₁) должна удовлетворять тождеству

 

u(x₁, x₂(x₁)) ≡ k,

 

где k — показатель уровня полезности рассматриваемой кривой безразличия.

Можно продифференцировать обе части этого тождества по x₁, получив

 

 

Заметьте, что x₁ появляется в этом тождестве в двух местах, так что изменение x₁ изменит функцию двояким образом, и следует брать производную в каждой точке, где появляется x₁.

Далее выразим из этого уравнения ¶x₂(x₁)/¶x₁ и получим

 

т. е. в точности тот же результат, что и раньше.

Метод использования неявных функций несколько строже, но метод дифференцирования приводит к результату более прямым путем, если только не сделать какой-то глупой ошибки.

Предположим, что мы проводим монотонное преобразование функции полезности, скажем, функции v(x₁, x₂) = f (u(x₁, x₂)). Подсчитаем MRS для данной функции полезности. Используя цепное правило взятия производной, получим

 

 

так как член ¶f/¶u сокращается в числителе и в знаменателе. Это показывает, что MRS не зависит от того, в каком виде представлена полезность.

Это дает нам полезный способ распознавания предпочтений, представленных разными функциями полезности: если даны две функции полезности, просто подсчитайте предельные нормы замещения и посмотрите, не одинаковы ли они. Если это так, то двум рассматриваемым функциям полезности соответствуют одни и те же кривые безразличия. И если направление возрастания предпочтений для каждой функции полезности одно и то же, то и предпочтения, описываемые этими функциями полезности, должны быть одинаковы.

ПРИМЕР: Предпочтения Кобба — Дугласа

MRS для случая предпочтений Кобба — Дугласа легко подсчитать, используя выведенную выше формулу.

Если выберем представление этих предпочтений с помощью логарифмов, имеющее вид

 

u(x₁, x₂) = c lnx₁ + d lnx₂,

 

то получим

 

Обратите внимание, что в данном случае MRS зависит только от отношения двух параметров и от количества двух товаров.

Что будет, если выбрать для представления рассматриваемых предпочтений степенную функцию Кобба — Дугласа вида

 

?

 

Тогда имеем

 

 

т.е. то же самое, что и раньше. Разумеется, с самого начала было известно, что монотонное преобразование не может изменить предельную норму замещения!